嘿，你的猜测完全正确！这个结论其实就是矩阵等价性的核心定理——两个同型矩阵等价当且仅当它们的秩相等，而等价的定义正是存在可逆矩阵V和U使得A = VBU。下面我一步步给你理清楚正式的证明思路：

第一步：回忆矩阵的标准形定理 #

对于任意m×n矩阵，若它的秩为r，那么一定可以通过初等行变换和初等列变换化为唯一的标准形：

Λ = [I_r  0]
    [0    0]

其中I_r是r阶单位矩阵，其余子块都是零矩阵。而且，初等行变换对应左乘可逆矩阵，初等列变换对应右乘可逆矩阵——这也是你提到的“可逆矩阵乘法等价于初等变换”的本质。

第二步：对矩阵A和B分别写出标准形表达式 #

• 因为矩阵A的秩为r，所以存在m阶可逆矩阵V₁和n阶可逆矩阵U₁，满足：
  V₁AU₁ = Λ
• 同理，矩阵B的秩也为r，所以存在m阶可逆矩阵V₂和n阶可逆矩阵U₂，满足：
  V₂BU₂ = Λ

第三步：联立等式并变形得到目标形式 #

把两个等式联立起来，我们有：
V₁AU₁ = V₂BU₂

现在我们要把A单独解出来：

1. 等式两边左乘V₁的逆矩阵V₁⁻¹，得到：AU₁ = V₁⁻¹V₂BU₂
2. 再在等式两边右乘U₁的逆矩阵U₁⁻¹，得到：A = V₁⁻¹V₂BU₂U₁⁻¹

第四步：定义可逆矩阵V和U #

• 令V = V₁⁻¹V₂：由于可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以V是m阶可逆矩阵；
• 令U = U₂U₁⁻¹：同理，U是n阶可逆矩阵；

把这两个定义代入上式，就直接得到：
A = VBU

补充说明 #

你之前提到的“可逆矩阵乘法等价于矩阵的初等变换”是整个证明的关键支撑：可逆矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积，左乘可逆矩阵相当于对矩阵做一系列初等行变换，右乘可逆矩阵相当于做一系列初等列变换。而两个同秩矩阵都能通过初等变换化为同一个标准形，自然就能通过可逆矩阵的乘法把它们联系起来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Galush Balush