求使指数型函数$f(x)=a^2\operatorname{exp}\Big[\frac{x}{a^2}-\frac{x^2}{2a^2}\Big]$取最大值的x值

阿华AIGC实验室

2026-5-19

求解函数$f(x) = a^2 \operatorname{exp}\Big[\frac{x}{a^2}-\frac{x2}{2a^2}\Big]$的最大值点

给定正实常数$a$，且$x>0$，我们来一步步找出定义在$(0,+\infty)$上的函数$f(x) = a^2 \operatorname{exp}\Big[\frac{x}{a^2}-\frac{x2}{2a^2}\Big]$取得最大值时的$x$值：

第一步：计算一阶导数
运用链式法则对$f(x)$求导，过程中注意$a$是正实常数，最终得到：
$$f'(x) = (1-x)\operatorname{exp}\Big[\frac{x}{a^2}-\frac{x2}{2a^2}\Big]$$
简单解释下：指数部分$\frac{x}{a^2}-\frac{x2}{2a^{2}$的导数是$\frac{1}{a}2} - \frac{x}{a^2} = \frac{1-x}{a^{2}$，再乘以原函数的系数$a}2$，就得到了$(1-x)$与指数函数的乘积。
第二步：寻找临界点
令$f'(x)=0$来解方程：
$$(1-x)\operatorname{exp}\Big[\frac{x}{a^2}-\frac{x2}{2a^2}\Big] = 0$$
这里要注意，指数函数$\operatorname{exp}(\cdot)$的取值恒大于0——不管里面的自变量是什么实数，指数函数都不会等于0。所以只有当$1-x=0$时等式成立，直接解得$x=1$。
第三步：验证这是最大值点
我们可以通过导数的符号变化确认：
- 当$0<x<1$时，$1-x>0$，此时$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；
- 当$x>1$时，$1-x<0$，此时$f'(x)<0$，函数$f(x)$单调递减。
  由此可知，$x=1$确实是函数$f(x)$的最大值点。