先直接回应你的核心疑问，再结合你给出的函数展开分析：

核心结论：偏导数连续与可微的关系 #

二元函数可微的充分条件是：两个偏导数在该点的某邻域内都存在，且两个偏导数都在该点连续——这里是要求两个都满足，不是仅其一。

但要注意，这只是充分非必要条件：存在函数在某点可微，但偏导数在该点不连续的情况（后面会举经典例子）。如果单个偏导数连续，另一个不满足，这个充分条件就无法使用，必须回到可微的定义去判断。

针对你给出的函数的具体分析 #

首先先纠正一个小错误：你给出的$f_y(0,0)=1$是不对的。计算$f_y(0,0)$应该用偏导数的定义：
$$f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0$$
正确的偏导数表达式应该是：

f_y(x,y)=\begin{cases} \sin\frac1x, & x\ne0 \\ 0, & x=0 \end{cases}

已知你的函数：

f(x,y)=\begin{cases} y\sin\frac{1}{x}, & x\ne0 \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}

已经验证了在(0,0)处连续，$f_x(x,y)=0$（全局连续，因为是常函数），但$f_y(x,y)$在(0,0)处不连续：当$(x,y)\to(0,0)$时，$\sin\frac{1}{x}$无限振荡，极限不存在，所以$f_y$在(0,0)处不连续。

此时充分条件不满足，我们必须用可微的定义来判断：
函数在(0,0)处可微的定义是：存在常数$A,B$，使得
$$\Delta f = f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$$
其中$o(\cdot)$表示高阶无穷小（即$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0$）。

代入已知的$A=f_x(0,0)=0$，$B=f_y(0,0)=0$，我们需要验证：
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{f(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = 0$$

取特殊路径$\Delta y = \Delta x$，当$\Delta x\to0$时，表达式变为：
$$\frac{\Delta x \sin\frac{1}{\Delta x}}{\sqrt{2}|\Delta x|} = \frac{\sin\frac{1}{\Delta x}}{\sqrt{2}}$$
由于$\sin\frac{1}{\Delta x}$在$\Delta x\to0$时无限振荡，极限不存在，因此原极限也不存在。这说明函数在(0,0)处不可微。

补充：可微但偏导数不连续的经典例子 #

为了帮你更好理解充分非必要条件，举个经典例子：

f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}

这个函数在(0,0)处可微，但两个偏导数在(0,0)处都不连续——这说明偏导数连续只是可微的充分条件，不是必要条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517310