我完全懂你的困惑——代入那些整数$n$得到的点全是1，看起来函数好像就该恒等于1，但其实这类函数是光滑非解析函数的经典例子，核心在于它利用了“平坦函数”的特性，能在无穷多个密集分布的点上取1，同时在其他点偏离，还保持高阶可微性。

先拆解你的观察 #

你代入的点是当$n$为整数时的$x=1+\frac{1}{n}$，这些点包括：

• $n=±1$时：$x=2$、$0$
• $n=±2$时：$x=\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$
• $n→∞$时：$x$趋近于1
  这些点在$x=1$两侧密集分布，甚至$x=1$本身也是这个点列的聚点，但它们终究是离散的点集，函数可以在点与点之间的区间里定义不同的值，只要保证在这些点上取1，且光滑过渡。

构造这个函数的核心思路 #

我们需要一个函数满足：

1. 在所有$x=1+\frac{1}{n}$（$n∈Z$）和$x=1$处取值为1
2. 三阶可微（甚至无穷可微）
3. 不恒等于1

经典的构造方法用到两个关键函数：

1. 平坦函数（Flat Function） #

定义：

g(t) = e^{-1/t²} ，当t≠0
g(0) = 0

这个函数是无穷可微的，而且所有阶导数在$t=0$处都是0——它在$t=0$附近“极度平坦”，但完全不是恒常函数，衰减速度比任何多项式都快。

2. 周期归零函数 #

我们需要一个在$t=\frac{1}{n}$（$n∈Z{0}$）处取0的函数，$\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)$正好满足：当$t=\frac{1}{n}$时，$\frac{\pi}{t}=n\pi$，$\sin(n\pi)=0$；而当$t≠0$且$\frac{1}{t}$不是整数时，$\sin\left(\frac{\pi}{t}\right)≠0$。

组合出目标函数 #

把上面两个函数结合，令$t=x-1$，定义：

f(x) = 1 + g(x-1)·sin\left(\frac{\pi}{x-1}\right) ，当x≠1
f(1) = 1

验证这个函数的特性 #

• 满足$f(1+\frac{1}{n})=1$：当$x=1+\frac{1}{n}$时，$x-1=\frac{1}{n}$，$\sin\left(\frac{\pi}{1/n}\right)=\sin(n\pi)=0$，所以$f(x)=1+0=1$；$x=1$时我们直接定义为1，且因为$g(x-1)$的衰减特性，函数在$x=1$处连续且各阶可微。
• 三阶可微（甚至无穷可微）：在$x≠1$处，两个可微函数的乘积显然可微；在$x=1$处，$g(x-1)$的衰减速度远快于$\sin\left(\frac{\pi}{x-1}\right)$的振荡速度，所以各阶导数在$x=1$处都存在且为0，完全满足三阶可微的要求。
• 非恒常函数：随便取一个不在点集里的$x$，比如$x=1+\frac{1}{1.5}=\frac{5}{3}$，此时$x-1=\frac{2}{3}$，$\sin\left(\frac{\pi}{2/3}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$，$g(2/3)=e^{-1/(4/9)}=e{-9/4}$，所以$f(\frac{5}{3})=1 - e^{-9/4}≠1$，显然不是恒常函数。

关键为什么你会觉得它是恒常的？ #

因为在$x=1$附近，$e^{-1/(x-1)2}$的值极小，比如$x=1.1$时，$e^{-1/(0.1)2}=e^{-100}$，几乎趋近于0，所以$f(x)$和1的差距非常小，肉眼几乎看不出，但数学上确实不等于1。而解析函数（比如多项式、指数函数）如果在一个聚点处取某个值，就必须恒常，但光滑函数（仅要求可微到指定阶数，或无穷可微）没有这个限制——这就是这个例子想要展示的核心区别。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user503959