首先得明确：矩阵的“标准形”其实是一类简化矩阵形式的统称，不同的应用场景、不同的数域（比如实数域、复数域、有理数域）下，会有不同的标准形定义，并不是唯一的——这可能就是你之前找不到统一定义的原因。

先结合你已经知道的内容展开：

• 对角标准形：
  你说的特征值互异时标准形是对角矩阵，这个没错，但其实哪怕特征值非互异，只要每个重特征值的几何重数等于它的代数重数（也就是这个特征值对应的线性无关特征向量的数量等于它的重数），那矩阵依然可以对角化，标准形就是对角元为特征值（重根重复对应次数）的对角矩阵。比如矩阵[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,3]]，特征值2的代数重数是2，几何重数也是2，它的标准形就是它本身（对角矩阵）。

• Jordan标准形：
  当某个重特征值的几何重数小于代数重数时，矩阵没法对角化，这时候Jordan标准形就是最常用的简化形式了（尤其是在复数域这类代数闭域上）。它的结构是由若干个Jordan块拼接而成：每个Jordan块对应一个特征值，块的大小取决于特征值的代数重数和几何重数。比如矩阵[[1,1,0],[0,1,0],[0,0,2]]，特征值1的代数重数是2、几何重数是1，对应一个2阶Jordan块[[1,1],[0,1]]，特征值2对应1阶块，所以它的Jordan标准形就是这个分块矩阵。

• 其他实用的标准形：
  如果你的场景不适合用Jordan形（比如在实数域上遇到复特征值，或者需要在有理数域上做运算），还有这些选择：

  • 实Jordan标准形：把复数特征值对应的Jordan块替换成实的分块矩阵（比如2阶的旋转缩放块），避免出现复数元素。
  • 有理标准形：完全不依赖特征值，通过矩阵的不变因子构造，适用于任何数域，是纯代数意义上的标准形。
  • Frobenius标准形：和有理标准形类似，用初等因子构造，结构更直观。

总结一下：特征值非互异时，先判断能否对角化（看几何重数和代数重数是否相等），能的话用对角标准形；不能的话，在代数闭域上用Jordan标准形，其他数域根据需求选实Jordan、有理标准形等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者graphtheoryiscool