没问题，我来一步步帮你拆解这两道线性代数题，搞懂每个细节～

问题1：判断变换T是否为线性变换 #

变换定义：$$T(x_{1}, x_{2}) = (4x_{1} - 2x_{2}, 3|x_{2}|)$$

首先回忆线性变换的核心要求：必须同时满足两个条件：

1. 加法保持性：对任意向量$\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$，有$T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) = T(\boldsymbol{u}) + T(\boldsymbol{v})$
2. 数乘保持性：对任意标量$c$和向量$\boldsymbol{u}$，有$T(c\boldsymbol{u}) = cT(\boldsymbol{u})$

我们直接找反例验证数乘保持性（因为绝对值项很容易破坏线性）：
取向量$\boldsymbol{u}=(0,1)$，标量$c=-1$：

• 计算$T(c\boldsymbol{u}) = T(0,-1) = (40 -2(-1), 3|-1|) = (2, 3)$
• 计算$cT(\boldsymbol{u}) = -1T(0,1) = -1(40-21, 3|1|) = -1*(-2,3) = (2, -3)$

显然$T(c\boldsymbol{u}) \neq cT(\boldsymbol{u})$，不满足数乘保持性。因此T不是线性变换。

问题2：线性变换$T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^4$，定义为$$ T(x_{1},x_{2}) = (2x_{2} - 3x_{1}, x_{1} - 4x_{2}, 0, x_{2}) $$ #

(a) 求变换T的标准矩阵 #

线性变换的标准矩阵构造逻辑：把定义域$\mathbb{R}^2$的标准基向量分别代入T，得到的结果作为矩阵的列向量。

$\mathbb{R}^2$的标准基是$\boldsymbol{e}_1=(1,0)$和$\boldsymbol{e}_2=(0,1)$：

1. 计算$T(\boldsymbol{e}_1) = T(1,0) = (20 -31, 1 -4*0, 0, 0) = (-3, 1, 0, 0)$
2. 计算$T(\boldsymbol{e}_2) = T(0,1) = (21 -30, 0 -4*1, 0, 1) = (2, -4, 0, 1)$

把这两个向量作为列向量，拼起来就是T的标准矩阵：
$$
A = \begin{pmatrix}
-3 & 2 \
1 & -4 \
0 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

(b) 判断T是否为单射线性变换 #

判断线性变换是否为单射，有几个等价的判断方法，这里用最直观的两种：

方法1：看核（零空间）是否只有零向量

核的定义是：所有满足$T(x_1,x_2)=(0,0,0,0)$的$(x_1,x_2)$的集合。
代入T的定义列方程组：
$$
\begin{cases}
2x_2 - 3x_1 = 0 \
x_1 - 4x_2 = 0 \
0 = 0 \
x_2 = 0
\end{cases}
$$
从最后一个方程得$x_2=0$，代入第二个方程得$x_1=0$，再代入第一个方程验证成立。
所以只有$(0,0)$满足条件，核是零空间，因此T是单射线性变换。

方法2：看标准矩阵的列向量是否线性无关

标准矩阵A的两个列向量是$(-3,1,0,0)$和$(2,-4,0,1)$，假设存在标量$a,b$使得：
$$a*(-3,1,0,0) + b*(2,-4,0,1) = (0,0,0,0)$$
展开得方程组：
$$
\begin{cases}
-3a + 2b = 0 \
a - 4b = 0 \
0 = 0 \
b = 0
\end{cases}
$$
解得$b=0$，代入第二个方程得$a=0$，只有零解，说明列向量线性无关。
而线性变换是单射的等价条件是标准矩阵的列向量线性无关，因此T是单射线性变换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PolyChordTetra