咱们一步一步来拆解这个问题哈，数列是$2, x , y , 9$，题目给了两个关键条件：前三项成等差数列，后三项成等比数列。

首先回忆两个数列的核心性质：

• 对于等差数列，相邻两项的差相等，或者说中间项是前后两项的算术平均数。所以前三项$2, x, y$成等差的话，必然满足：

  $2x = 2 + y$ ——（1）

• 对于等比数列，相邻两项的比相等，或者说中间项的平方等于前后两项的乘积。所以后三项$x, y, 9$成等比的话，满足：

  $y^2 = 9x$ ——（2）

接下来就是联立这两个方程求解啦：

1. 从方程（1）里把$y$用$x$表示出来：$y = 2x - 2$
2. 把$y=2x-2$代入方程（2），得到：
   (2x - 2)^2 = 9x
3. 展开左边并整理成标准二次方程：
   $4x^2 - 8x + 4 = 9x$
   $4x^2 - 17x + 4 = 0$
4. 解这个二次方程，我们可以用因式分解法：
   $(4x - 1)(x - 4) = 0$
   得到两个解：$x=4$ 或者 $x=\frac{1}{4}$

最后对应求出$y$的值并验证：

• 当$x=4$时，代入$y=2x-2$得$y=6$。验证一下：前三项$2,4,6$是公差为2的等差数列，后三项$4,6,9$是公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，完全符合条件。
• 当$x=\frac{1}{4}$时，代入$y=2x-2$得$y=-\frac{3}{2}$。验证：前三项$2,\frac{1}{4},-\frac{3}{2}$是公差为$-\frac{7}{4}$的等差数列，后三项$\frac{1}{4},-\frac{3}{2},9$是公比为$-6$的等比数列，也满足所有条件。

所以最终的解有两组：

• $x=4$，$y=6$
• $x=\frac{1}{4}$，$y=-\frac{3}{2}$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jess