咱们来一步步拆解极值定理里绝对最大值存在性的证明过程，先把定理的核心前提理清楚：

• 设闭有界区间 I := [a, b]，函数 f: I → ℝ 是 I 上的连续函数，我们要证明f在I上存在绝对最大值。

证明步骤拆解 #

1. 第一步：确定函数值域有界

由假设，集合 f(I) := {f(x): x ∈ I} 在 ℝ 中有界（这部分已经在前序定理中证明，一般是用连续函数在闭区间上的有界性定理）。

2. 第二步：引入上确界并构造序列
   令 s = sup f(I)（根据确界原理，非空有上界的实数集必有上确界）。我们的目标是找到 x_s ∈ I，使得 f(x_s) = s。
   因为 s 是 f(I) 的上确界，根据上确界的定义：对任意正整数 n ∈ ℕ，存在 x_n ∈ I，使得
   s - 1/n < f(x_n) ≤ s

3. 第三步：利用闭区间紧致性提取收敛子列
   由于 {x_n} 是闭有界区间 I 中的序列，根据Bolzano-Weierstrass定理，存在 {x_n} 的收敛子列 {x_{n_k}}，以及某个 x_s ∈ I，使得
   lim_{k→∞} x_{n_k} = x_s

4. 第四步：结合连续性得出结论
   因为 f 在 I 上连续，根据连续函数的序列极限性质：
   lim_{k→∞} f(x_{n_k}) = f(x_s)
   而从第二步的不等式，对每个 k 有：
   s - 1/n_k < f(x_{n_k}) ≤ s
   当 k→∞ 时，1/n_k → 0，根据夹逼准则，lim_{k→∞} f(x_{n_k}) = s。
   因此 f(x_s) = s，这就说明 x_s 是 f 在 I 上的绝对最大值点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zduff