咱们一个一个来解决这两个积分极限问题~

一、计算$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2} \sin(x^n)dx$ #

你之前想直接交换极限和积分，确实这里一致收敛性不太好证明，不如把积分拆成两段来分析：$\int_0^1 \sin(x^n)dx + \int_1^{\pi/2} \sin(x^n)dx$，分别处理每一段的极限。

1. 第一段：$\int_0^1 \sin(x^n)dx$ #

当$x\in[0,1)$时，$n\to\infty$时$x^n$会趋近于0，而$\sin t\sim t$当$t\to0$，所以$\sin(x^n)$和$xn$是等价无穷小。这里用控制收敛定理就可以交换极限和积分：
因为$|\sin(x^n)|\leq |x^n|\leq1$，而1在[0,1]上是可积的，满足控制收敛的条件，所以：
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \sin(x^n)dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty}\sin(x^n)dx = \int_0^1 0 dx = 0$$
要是你不想用控制收敛定理，直接估计也可以：$|\sin(x^n)|\leq x^{n$，而$\int_0}1 x^n dx = \frac{1}{n+1}\to0$，所以这段积分肯定趋于0。

2. 第二段：$\int_1^{\pi/2} \sin(x^n)dx$ #

这里$x\geq1$，而且$\pi/2\approx1.57>1$，所以$n\to\infty$时$x^{n$会趋向正无穷，$\sin(x}n)$会在区间上振荡，但我们可以通过变量替换来估计它的绝对值：
令$t=x^n$，则$x=t{1/n}$，$dx=\frac{1}{n}t^{{\frac{1}{n}-1}dt$，积分上下限变成$t=1$到$t=(\pi/2)}n$，原积分转化为：
$$\frac{1}{n}\int_1^{(\pi/2)n} \sin t \cdot t^{\frac{1}{n}-1}dt$$
接下来用积分第二中值定理：因为$t^{{\frac{1}{n}-1}$是单调递减函数（指数为负），所以存在$\xi\in[1,(\pi/2)}n]$，使得：
$$\int_1^{(\pi/2)n} \sin t \cdot t^{\frac{1}{n}-1}dt = 1^{{\frac{1}{n}-1}\int_1}\xi \sin t dt + (\pi/2)^{{1-n}\int_\xi}{(\pi/2)^n}\sin t dt$$
而$|\int_c^d \sin t dt|\leq2$（正弦积分的绝对值最大是2），所以整个积分的绝对值不超过$2 + 2\cdot(\pi/2)^{{1-n}$，当$n\to\infty$时$(\pi/2)}{1-n}\to0$，所以这个积分的绝对值有界为2。那原积分的绝对值就不超过$\frac{2}{n}\to0$，所以第二段积分也趋于0。

把两段加起来，第一个极限的结果就是$\boldsymbol{0}$。

二、计算$\lim_{n\to\infty}n^{106}\int_0{1/n^{2017}} f(x)dx$（$f$是$[0,1]$上的任意可积函数） #

这个问题的结果其实是依赖于$f$在0点附近的局部行为的，我们分几种情况来看：

1. 当$f$在0点附近有界时 #

假设$|f(x)|\leq M$对所有$x\in[0,\delta]$（$\delta>0$）成立，当$n$足够大时，$1/n^{2017}<\delta$，那么：
$$\left|\int_0^{1/n{2017}} f(x)dx\right| \leq M \cdot \frac{1}{n^{2017}}$$
乘以$n^{106}$后得到：
$$n^{{106}\cdot\left|\int_0}{1/n^{2017}} f(x)dx\right| \leq \frac{M}{n^{2017-106}} = \frac{M}{n^{1911}}\to0$$
所以此时极限为$\boldsymbol{0}$。

2. 当$f$在0点附近无界但可积时 #

比如取$f(x)=x^{\frac{106}{2017}-1}$，它在[0,1]上是勒贝格可积的（因为指数$\frac{106}{2017}-1 > -1$），计算积分：
$$\int_0^{1/n{2017}} f(x)dx = \frac{(1/n^{2017}){\frac{106}{2017}}}{\frac{106}{2017}} = \frac{n^{-106}}{\frac{106}{2017}}$$
乘以$n^{106}$后得到：
$$n^{{106}\cdot\frac{n}{-106}}{\frac{106}{2017}} = \frac{2017}{106}$$
所以此时极限是一个非零的常数$\boldsymbol{\frac{2017}{106}}$。

3. 极端情况：极限趋于无穷 #

再取$f(x)=x^{\beta-1}$，其中$\beta=\frac{106}{2017}-\epsilon$（$\epsilon>0$很小），这个函数在[0,1]上可积（因为$\beta-1 > -1$），积分：
$$\int_0^{1/n{2017}} f(x)dx = \frac{(1/n^{2017})\beta}{\beta} = \frac{n^{-2017\beta}}{\beta}$$
乘以$n^{106}$后得到：
$$n^{106-2017\beta} = n^{106-2017(\frac{106}{2017}-\epsilon)} = n^{2017\epsilon}$$
当$n\to\infty$时，这个表达式会趋向$\boldsymbol{+\infty}$。

总结一下：这个极限的结果没有统一值，取决于$f$在0点附近的衰减速度，可能是0、某个有限常数，甚至趋于无穷。如果题目中的$f$是连续函数，那我们可以利用连续性得到$f(x)=f(0)+o(1)$，此时积分$\int_0^{1/n{2017}}f(x)dx=f(0)\cdot\frac{1}{n^{{2017}}+o(\frac{1}{n}{2017}})$，乘以$n^{106}$后会趋向0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric