嘿，我来帮你搞定这个数列收敛的证明！既然你已经搞定了非单调性的证明，那接下来可以从奇偶子列的单调性+收敛性入手，或者用压缩映射原理，这里先给你讲最直观的奇偶子列方法，步骤很清晰：

首先先算前几项观察规律：
$$b_1=0,\ b_2=\frac{3-0^{2}{2}=1.5, b_3=\frac{3-1.5}2}{2}=0.375,\ b_4≈1.4297,\ b_5≈0.4775$$
能看出奇数项$b_1,b_3,b_5...$在递增，偶数项$b_2,b_4,b_6...$在递减，我们可以分别证明这两个子列单调有界（从而收敛），再证明它们的极限相同。

1. 证明奇子列${b_{2k-1}}$单调递增且有上界 #

用数学归纳法：

• 基例：$b_1=0 < b_3=0.375$，且$b_1 < 1$，成立；
• 归纳假设：假设对任意$k$，有$b_{2k-1} < b_{2k+1}$且$b_{2k-1} < 1$；
• 归纳步骤：令$x=b_{2k+1}$，则$b_{2k+3}=\frac{3 - (\frac{3-x^2}{2})2}{2}$，计算差值：
  $$b_{2k+3}-b_{2k+1}=\frac{3 - (\frac{3-x^2}{2})2}{2} - x$$
  化简分子部分：
  $$12 - (9-6x^2+x4) -8x = -x^4+6x2-8x+3=-(x-1)^3(x+3)$$
  因为$x=b_{2k+1}<1$且$x>0$，所以$(x-1)^3<0$，$(x+3)>0$，整体分子为正，因此$b_{2k+3}-b_{2k+1}>0$，即奇子列递增。
  同时，由$b_{2k+1}=\frac{3 - b_{2k}^2}{2}$，而$b_{2k}=\frac{3 - b_{2k-1}^2}{2}>\frac{3-1}{2}=1$，所以$b_{2k+1}<\frac{3-1}{2}=1$，即奇子列有上界1。

根据单调有界定理，奇子列${b_{2k-1}}$收敛，设极限为$L$。

2. 证明偶子列${b_{2k}}$单调递减且有下界 #

同样用数学归纳法：

• 基例：$b_2=1.5 > b_4≈1.4297$，且$b_2>1$，成立；
• 归纳假设：假设对任意$k$，有$b_{2k} > b_{2k+2}$且$b_{2k}>1$；
• 归纳步骤：令$y=b_{2k+2}$，类似上面的推导，计算$b_{2k+4}-b_{2k+2}$会得到分子为$-(y-1)^{3(y+3)$。因为$y=b_{2k+2}>1$，所以$(y-1)}3>0$，整体分子为负，因此$b_{2k+4}-b_{2k+2}<0$，即偶子列递减。
  同时，由$b_{2k+2}=\frac{3 - b_{2k+1}^2}{2}$，而$b_{2k+1}<1$，所以$b_{2k+2}>\frac{3-1}{2}=1$，即偶子列有下界1。

根据单调有界定理，偶子列${b_{2k}}$收敛，设极限为$M$。

3. 证明$L=M$ #

因为奇子列收敛到$L$，所以$b_{2k+1}\to L$，则$b_{2k+2}=\frac{3 - b_{2k+1}^{2}{2}\to\frac{3-L}2}{2}=M$；
同时偶子列收敛到$M$，所以$b_{2k}\to M$，则$b_{2k+1}=\frac{3 - b_{2k}^{2}{2}\to\frac{3-M}2}{2}=L$。

得到方程组：
$$\begin{cases}M=\frac{3-L^{2}{2}\L=\frac{3-M}2}{2}\end{cases}$$
两式相减：
$$M-L=\frac{M^2-L2}{2}=\frac{(M-L)(M+L)}{2}$$
移项得：
$$(M-L)\left(1-\frac{M+L}{2}\right)=0$$
若假设$M≠L$，则$M+L=2$，代入$L=\frac{3-M^2}{2}$得：
$$2-M=\frac{3-M^2}{2}\implies M^{2-2M+1=0\implies(M-1)}2=0$$
即$M=1$，则$L=1$，矛盾。因此只能$L=M=1$。

综上，原数列的奇偶子列都收敛到1，故原数列收敛，极限为1。

考虑迭代函数$f(x)=\frac{3-x^2}{2}$，直接看$f(x)$的导数$f'(x)=-x$，在区间$[0,\frac{3}{2}]$上$|f'(x)|≤\frac{3}{2}>1$，不满足压缩映射条件，但我们可以看两次迭代的函数$g(x)=f(f(x))$：
$$g(x)=\frac{3-\left(\frac{3-x^2}{2}\right)2}{2}$$
计算导数$g'(x)=x\cdot f(x)$，对于奇子列所在的区间$[0,1)$，$|g'(x)|=x\cdot\frac{3-x^{2}{2}<1$，此时$g(x)$是压缩映射，故奇子列收敛；同理偶子列所在的$(1,\frac{3}{2}]$上，$|g'(x)|=x\cdot\frac{3-x}2}{2}<1$（比如$x=1.5$时，$g'(1.5)=1.5\times\frac{3-2.25}{2}=0.5625<1$），因此偶子列也收敛，后续再证明极限一致即可。这种方法更偏向泛函分析视角，如果你学过压缩映射可以尝试。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者B.C.W.