嘿，咱们一步步来解决这个问题，先从参数化两条直线上的点开始：

1. 写出直线l的参数方程 #

直线l的对称式为$\frac{2x-3}{2} = \frac{y}{2}=\frac{2z+1}{6}$，我们设这个公共比值为参数$\lambda$，这样就能写出直线l上任意点$L(x_1,y_1,z_1)$的坐标：

• 由$\frac{2x_1 - 3}{2} = \lambda$，解得 $x_1 = \lambda + \frac{3}{2}$
• 由$\frac{y_1}{2} = \lambda$，解得 $y_1 = 2\lambda$
• 由$\frac{2z_1 + 1}{6} = \lambda$，解得 $z_1 = 3\lambda - \frac{1}{2}$

所以$L$的坐标可以表示为：$L\left(\lambda + \frac{3}{2}, 2\lambda, 3\lambda - \frac{1}{2}\right)$

2. 写出直线m的参数方程 #

直线m是两个平面的交线：$\begin{cases}3x-5=0 \\3y+3z+2=0\end{cases}$，先解第一个平面方程得$x_2 = \frac{5}{3}$，再设$y_2 = \mu$（$\mu$为参数），代入第二个平面方程：
$3\mu + 3z_2 + 2 = 0$，解得 $z_2 = -\mu - \frac{2}{3}$

所以直线m上任意点$M(x_2,y_2,z_2)$的坐标为：$M\left(\frac{5}{3}, \mu, -\mu - \frac{2}{3}\right)$

3. 利用平行条件列方程组求解参数 #

直线p的对称式是$x= \frac{y}{6}=\frac{z}{2}$，它的方向向量为$\vec{v}=(1,6,2)$。因为$\overrightarrow{LM} \parallel p$，所以$\overrightarrow{LM}$必须是$\vec{v}$的实数倍，即存在实数$k$，使得：
$$
\begin{cases}
\frac{5}{3} - \left(\lambda + \frac{3}{2}\right) = k \
\mu - 2\lambda = 6k \
\left(-\mu - \frac{2}{3}\right) - \left(3\lambda - \frac{1}{2}\right) = 2k
\end{cases}
$$

先化简第一个方程：
$\frac{10}{6} - \frac{9}{6} - \lambda = k$ → $k = \frac{1}{6} - \lambda$ --- (1)

把(1)代入第二个方程，得到：
$\mu - 2\lambda = 6\left(\frac{1}{6} - \lambda\right)$ → $\mu - 2\lambda = 1 - 6\lambda$ → $\mu = 1 - 4\lambda$ --- (2)

再把(1)和(2)代入第三个方程，先化简左边：
$-\mu - 3\lambda + \left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) = -(1-4\lambda) -3\lambda - \frac{1}{6} = \lambda - \frac{7}{6}$
右边为$2k = 2\left(\frac{1}{6} - \lambda\right) = \frac{1}{3} - 2\lambda$

联立左右两边：
$\lambda - \frac{7}{6} = \frac{1}{3} - 2\lambda$
移项求解得：$3\lambda = \frac{3}{2}$ → $\lambda = \frac{1}{2}$

把$\lambda = \frac{1}{2}$代入(2)，得$\mu = 1 - 4\times\frac{1}{2} = -1$

4. 计算最终的点L和M #

把$\lambda = \frac{1}{2}$代入L的参数坐标：
$x_1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$，$y_1 = 2\times\frac{1}{2} = 1$，$z_1 = 3\times\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$
所以L(2, 1, 1)

把$\mu = -1$代入M的参数坐标：
$x_2 = \frac{5}{3}$，$y_2 = -1$，$z_2 = -(-1) - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
所以M($\frac{5}{3}, -1, \frac{1}{3}$)

最后验证一下：$\overrightarrow{LM} = (\frac{5}{3}-2, -1-1, \frac{1}{3}-1) = (-\frac{1}{3}, -2, -\frac{2}{3})$，确实是$\vec{v}=(1,6,2)$的$-\frac{1}{3}$倍，满足平行条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michthan