没问题，咱们一步步来拆解这个问题～

首先要肯定的是：你把$|x+h|$转化为$\sqrt{(x+h)^2}$的步骤是完全正确的——因为对于任意实数$a$，都有$|a| = \sqrt{a^2}$，这个等式是成立的。不过用根号形式直接处理可能不是最直观的，咱们可以从两个角度来推导：先从绝对值的定义分情况讨论，再用你提到的根号分子有理化的方法验证。

绝对值函数$f(x)=|x|$的分段定义是：
$$f(x) = \begin{cases}
x & \text{当 } x > 0 \
0 & \text{当 } x = 0 \
-x & \text{当 } x < 0
\end{cases}$$
我们结合导数定义$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，分三种情况计算：

1. 当$x > 0$时 #

只要$h$足够小（比如$|h| < x$），$x+h$也会是正数，因此$|x+h|=x+h$，$|x|=x$。代入导数定义：
$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h) - x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h\to 0} 1 = 1$$

2. 当$x < 0$时 #

同理，当$h$足够小时，$x+h$依然是负数，因此$|x+h|=-(x+h)$，$|x|=-x$。代入导数定义：
$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{-(x+h) - (-x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{-x -h +x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{-h}{h} = \lim_{h\to 0} -1 = -1$$

3. 当$x = 0$时 #

导数存在的前提是左右极限相等，所以我们需要分别计算左极限和右极限：

• 右极限（$h$从正数方向趋近0，即$h\to 0^+$）：
  $$\lim_{h\to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h}{h} = 1$$
• 左极限（$h$从负数方向趋近0，即$h\to 0^-$）：
  $$\lim_{h\to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$$
  由于左极限和右极限不相等，因此$f(x)=|x|$在$x=0$处不可导。

回到你写的式子：
$$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x2}}{h}$$
我们对分子进行有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{(x+h)^2} + \sqrt{x^2}$，得到：
$$\lim_{h\to 0} \frac{[(x+h)^2 - x^{2]}{h(\sqrt{(x+h)}2} + \sqrt{x^2})}$$
展开分子的平方项：$(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 = h(2x + h)$，代入后约去$h$（$h\neq0$，因为极限是$h\to0$，$h$不会等于0）：
$$\lim_{h\to 0} \frac{2x + h}{\sqrt{(x+h)^2} + \sqrt{x^2}}$$
接下来依然分情况讨论：

• 当$x>0$时，$h\to0$时$x+h>0$，所以$\sqrt{(x+h)^{2}=x+h$，$\sqrt{x}2}=x$，代入得：
  $$\frac{2x + 0}{x + x} = \frac{2x}{2x} = 1$$
• 当$x<0$时，$h\to0$时$x+h<0$，所以$\sqrt{(x+h)^{2}=-(x+h)$，$\sqrt{x}2}=-x$，代入得：
  $$\frac{2x + 0}{-(x+0) + (-x)} = \frac{2x}{-2x} = -1$$
• 当$x=0$时，代入得：
  $$\lim_{h\to0}\frac{0 + h}{\sqrt{h^2} + 0} = \lim_{h\to0}\frac{h}{|h|}$$
  这个极限的左右值不相等（右极限为1，左极限为-1），因此$x=0$处不可导，和方法一的结论完全一致。

总结一下：绝对值函数$f(x)=|x|$的导数是分段函数，当$x>0$时导数为1，$x<0$时导数为-1，$x=0$处没有导数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EPDurfey