当然存在笛卡尔闭包（Cartesian closure）这个概念！针对你提到的由有限集合族$E_1, \ldots, E_n$构造的范畴$\mathcal{E}$（对象是这些集合，态射是集合间的函数），你直觉里那个“依次添加有限积、函数集、再添加有限积……”的思路完全踩中了构造它的笛卡尔闭包的核心逻辑。

先给你理清楚关键细节：

• 首先明确笛卡尔闭范畴的核心要求：一个范畴是笛卡尔闭的，当且仅当它拥有所有有限积（包括终端对象——对应集合论里的单元素集），并且对任意两个对象$A,B$，存在指数对象$B^A$（对应集合论里的函数集$Hom(A,B)$），同时满足伴随性条件：对任意对象$C$，存在自然同构$Hom(C \times A, B) \cong Hom(C, B^A)$。
• 你构造的范畴$\mathcal{E}$本身通常不是笛卡尔闭的：它只有给定的$n$个对象，既没有这些对象的有限积（比如$E_1 \times E_2$大概率不在$\mathcal{E}$的对象列表里），也没有指数对象（比如$E_2^{E_1}$这个函数集也不在$\mathcal{E}$中）。
• 构造$\mathcal{E}$的笛卡尔闭包$\mathcal{C}$的过程，就是迭代生成最小笛卡尔闭范畴的过程：
  1. 第一步：给$\mathcal{E}$添加所有现有对象的有限积（包括终端对象），得到范畴$\mathcal{E}_1$；
  2. 第二步：给$\mathcal{E}_1$添加所有对象对的指数对象（也就是集合论里的函数集），得到范畴$\mathcal{E}_2$；
  3. 第三步：再给$\mathcal{E}_2$添加所有现有对象的有限积，得到$\mathcal{E}_3$；
  4. 不断重复“添加有限积→添加指数对象”的步骤，直到范畴不再需要新增对象和态射——最终得到的这个范畴$\mathcal{C}$就是$\mathcal{E}$的笛卡尔闭包，也叫由$\mathcal{E}$生成的自由笛卡尔闭范畴。

简单来说，这个$\mathcal{C}$是包含$\mathcal{E}$的最小笛卡尔闭范畴：任何从$\mathcal{E}$到某个笛卡尔闭范畴$\mathcal{D}$的函子，都能唯一延拓成$\mathcal{C}$到$\mathcal{D}$的笛卡尔闭函子（也就是能保持有限积和指数对象的函子）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paul Siegel