嘿，你前面的推导步骤完全没问题，卡在a²b²=9(a+b)这一步是因为没结合定义域的条件，也漏了关键的分情况讨论环节！咱们接着往下理：

首先回到你推导到的这一步：

$f(a)=f(b)\Leftrightarrow (a-b)(a^2b2 - 9(a+b))=0$

这时候我们需要分两种情况讨论：

• 情况1：$a - b = 0$
  直接可得$a = b$，这正好满足单射定义中“若$f(a)=f(b)$则$a=b$”的要求。

• 情况2：$a - b \neq 0$
  此时可以两边同时除以$(a - b)$，得到你卡住的等式：$a^2b2=9(a+b)$。但结合定义域$(-\infty,0)$来分析：

  • 因为$a,b$都是负数，所以$a^2>0$，$b2>0$，左边$a^2b2=(ab)^2$必然是正数；
  • 两个负数相加$a+b<0$，右边$9(a+b)$是负数。
    正数不可能等于负数，所以这种情况在定义域内不可能存在。

综合以上两种情况，只有当$a=b$时，才有$f(a)=f(b)$，这就严格证明了$f(x)$在$(-\infty,0)$上是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Angel Politis