首先解决你最关心的极点阶数问题：

• 对于函数 $g(z) = e^z + 1$，它的零点满足 $e^z = -1$，解为 $z = (2k+1)\pi i$（$k$ 为整数）。
• 判断零点阶数：对 $g(z)$ 求导得 $g'(z) = e^z$，代入 $z = \pi i$，$g'(\pi i) = e^{\pi i} = -1 \neq 0$；同理 $g'(-\pi i) = e^{-\pi i} = -1 \neq 0$。根据极点阶数的判定规则——若 $g(a)=0$ 且 $g'(a)\neq0$，则 $z=a$ 是 $\frac{1}{g(z)}$ 的一阶极点，所以 $z=\pi i$ 和 $z=-\pi i$ 都是一阶极点。

接下来分析围道 $|z|=4$ 内的极点：

• 计算极点的模长：$|(2k+1)\pi i| = |2k+1|\pi$，$\pi\approx3.14$。当 $k=0$ 时，模长约3.14<4；$k=\pm1$ 时，模长约9.42>4，因此围道内只有 $z=\pi i$ 和 $z=-\pi i$ 两个极点。

然后计算每个极点的留数（针对一阶极点，用公式 $\text{Res}\left[\frac{h(z)}{g(z)},a\right] = \frac{h(a)}{g'(a)}$，这里 $h(z)=z^2$）：

• 对于 $z=\pi i$：$\text{Res} = \frac{(\pi i)^2}{e{\pi i}} = \frac{-\pi^2}{-1} = \pi^2$
• 对于 $z=-\pi i$：$\text{Res} = \frac{(-\pi i)^2}{e{-\pi i}} = \frac{-\pi^2}{-1} = \pi^2$

最后应用留数定理：
围道积分等于 $2\pi i$ 乘以围道内所有极点的留数之和，即：
$$\oint_C \frac{z^2}{ez + 1} dz = 2\pi i \times (\pi^2 + \pi^2) = 4\pi^3 i$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sbp