求证测度空间积分不等式：∫_E logf dμ ≤ μ(E)log(1/μ(E))

阿华AIGC实验室

2026-5-19

积分不等式的证明思路与解法

问题明确

设$(X, \Sigma, \mu)$是带有严格正测度$\mu$的可测空间，函数$f:X \rightarrow (0, \infty)$满足$\int_X f d\mu=1$。需要证明：对任意满足$0 < \mu(E)<\infty$的$\mu$-可测集$E \in \Sigma$，有
$$\int_E \log f d\mu \leqslant \mu(E) \log \left[\frac{1}{\mu(E)} \right]$$

你提到尝试定义新测度$\nu = f \cdot \mu$，这个方向完全正确！咱们就顺着这个思路，结合凹函数的Jensen不等式来完成证明。

详细证明步骤

构造集合$E$上的概率测度
首先，对集合$E$，我们定义一个归一化的概率测度$\mu_E$：对任意$A \subseteq E$且$A \in \Sigma$，令
$$\mu_E(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(E)}$$
显然$\mu_E(E) = 1$，所以这是$E$上的合法概率测度。
利用Jensen不等式转化积分
对数函数$\log t$是严格凹函数（其二阶导数$\log'' t = -\frac{1}{t^2} < 0$），根据Jensen不等式：对于凹函数$\phi$和概率测度$\nu$，有
$$\phi\left(\int g d\nu\right) \geqslant \int \phi(g) d\nu$$
我们先把原不等式两边除以$\mu(E)$，得到等价的不等式：
$$\frac{1}{\mu(E)} \int_E \log f d\mu \leqslant \log \left(\frac{1}{\mu(E)}\right)$$
左边恰好就是$\int_E \log f d\mu_E$（因为$\frac{d\mu}{\mu(E)} = d\mu_E$）。
结合已知条件推导不等式
对凹函数$\log$应用Jensen不等式，可得：
$$\int_E \log f d\mu_E \leqslant \log\left( \int_E f d\mu_E \right)$$
而$\int_E f d\mu_E = \frac{1}{\mu(E)} \int_E f d\mu$，又因为$\int_X f d\mu = 1$，所以$\int_E f d\mu \leqslant 1$，因此：
$$\frac{1}{\mu(E)} \int_E f d\mu \leqslant \frac{1}{\mu(E)}$$
由于$\log t$是单调递增函数，所以：
$$\log\left( \frac{1}{\mu(E)} \int_E f d\mu \right) \leqslant \log\left( \frac{1}{\mu(E)} \right)$$
把上面两步结合起来，就有：
$$\int_E \log f d\mu_E \leqslant \log\left( \frac{1}{\mu(E)} \right)$$
两边再乘以$\mu(E)$，就得到原不等式：
$$\int_E \log f d\mu \leqslant \mu(E) \log\left( \frac{1}{\mu(E)} \right)$$
关联你定义的测度$\nu$
你定义的$\nu = f \cdot \mu$是一个概率测度（因为$\nu(X) = \int_X f d\mu = 1$），原不等式左边可以写成$\int_E \log\left( \frac{d\nu}{d\mu} \right) d\mu$，这其实是$\nu$相对于$\mu$在集合$E$上的Kullback-Leibler散度项，本质上和咱们用Jensen的思路是相通的，只是换了一种测度视角而已。