我来一步步帮你拆解这个不等式，顺便梳理下这类同时包含绝对值和平方根的问题的通用解法～

第一步：先确定定义域 #

平方根里的被开方数必须是非负的，所以首先得满足：

2 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -2

所有后续讨论都要在 $x \geq -2$ 的范围内进行，这是基础前提。

第二步：分情况去掉绝对值 #

绝对值的核心是分正负讨论，结合定义域 $x \geq -2$，我们分成两个大区间：

情况1：$-2 \leq x < 0$ #

此时 $|x| = -x$，原不等式转化为：

√(2+x) ≥ -x - 1

这里还要细分右边的正负：

• 当 $-1 < x < 0$ 时，$-x - 1 < 0$，而左边 $\sqrt{2+x}$ 是平方根，必然非负，正数肯定大于负数，所以这个子区间的所有 $x$ 都满足不等式，即 $-1 < x < 0$ 是解的一部分。
• 当 $-2 \leq x \leq -1$ 时，$-x - 1 \geq 0$，两边都是非负数，此时可以平方去掉根号（平方后不等号方向不变）：

  2 + x ≥ (-x - 1)²
  

  展开右边并整理：

  2 + x ≥ x² + 2x + 1 ⇒ x² + x - 1 ≤ 0
  

  解这个二次不等式，先求根：$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，其中 $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$，$\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$。因为二次函数开口向上，所以不等式的解是两根之间：$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$。结合当前区间 $-2 \leq x \leq -1$，取交集得到：$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \leq x \leq -1$。

情况2：$x \geq 0$ #

此时 $|x| = x$，原不等式转化为：

√(2+x) ≥ x - 1

同样细分右边的正负：

• 当 $0 \leq x < 1$ 时，$x - 1 < 0$，左边 $\sqrt{2+x} \geq \sqrt{2} > 0$，正数大于负数，所以这个子区间的所有 $x$ 都满足，即 $0 \leq x < 1$ 是解的一部分。
• 当 $x \geq 1$ 时，$x - 1 \geq 0$，两边非负，平方去掉根号：

  2 + x ≥ (x - 1)²
  

  展开右边并整理：

  2 + x ≥ x² - 2x + 1 ⇒ x² - 3x - 1 ≤ 0
  

  求二次方程的根：$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$，其中 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx -0.303$，$\frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.303$。二次函数开口向上，不等式的解是两根之间：$\frac{3 - \sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$。结合当前区间 $x \geq 1$，取交集得到：$1 \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$。

第三步：合并所有解 #

把各个子区间的解合并起来，最终的解集是：

$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

同类问题的通用解法总结 #

这类同时含绝对值和平方根的不等式，核心思路就是**“先定域，再拆绝对值，分情况讨论，最后合并解”**，具体步骤：

• 第一步：确定定义域：先处理平方根，保证被开方数非负，划定讨论的范围。
• 第二步：拆分绝对值：根据绝对值内表达式的正负，把定义域分成若干子区间，每个子区间内绝对值可以转化为不含绝对值的表达式。
• 第三步：分情况分析不等式：对每个子区间，判断不等式两边的正负性：
  • 如果右边是负数，左边平方根非负，直接判定该子区间全是解；
  • 如果两边都是非负，就可以平方去掉根号（注意只有两边非负时平方才不改变不等号方向），转化为常规的一次/二次不等式求解。
• 第四步：合并解集：把每个子区间的解和子区间取交集后，再合并所有有效解，得到最终结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marva Jami