先明确已知条件：

• $X_1,X_2,...,X_n$是同分布的随机变量（无需独立），且二阶矩有限，即$E[X_1^2]<\infty$
• 存在固定整数$h\ge1$，当两个下标$i,j$满足$|i-j|\ge h$时，$Cov(X_i,X_j)=0$
• 记部分和$S_n=\sum_{i=1}^nX_i$，我们要推导它的方差上界

证明步骤： #

1. 展开方差的基本表达式
   根据方差的通用展开式（对任意随机变量都成立，不依赖独立性），我们有：
   $$Var(S_n)=\sum_{i=1}^nVar(X_i)+2\sum_{\substack{1\le i < j \le n}} Cov(X_i,X_j)$$

2. 利用同分布和协方差约束化简
   因为所有$X_i$同分布，所以每个$Var(X_i)=Var(X_1)$，代入后第一项变为$nVar(X_1)$。
   结合题目中的协方差约束：当$|i-j|\ge h$时$Cov(X_i,X_j)=0$，交叉项的求和范围可以缩小到所有满足$|i-j|<h$的下标对$(i,j)$（$i<j$），于是上式变为：
   $$Var(S_n)=nVar(X_1)+2\sum_{\substack{1\le i < j \le n \ |i-j|<h}} Cov(X_i,X_j)$$

3. 用柯西-施瓦茨不等式控制协方差项
   对于任意两个随机变量$U$和$V$，柯西-施瓦茨不等式给出协方差的绝对值上界：$|Cov(U,V)|\le\sqrt{Var(U)Var(V)}$。
   这里$X_i,X_j$同分布，所以$Var(X_i)=Var(X_j)=Var(X_1)$，代入得：
   $$|Cov(X_i,X_j)|\le Var(X_1)$$

4. 计数交叉项数量并放缩
   统计求和式$\sum_{\substack{1\le i < j \le n \ |i-j|<h}}$的项数：
   对于每个下标$i$，满足$i<j$且$j-i<h$的$j$最多有$h-1$个（即$i+1,i+2,...,i+h-1$，只要不超过$n$）。因此整个求和式的项数不会超过$n(h-1)$。

将数量和协方差上界代入原式：
$$Var(S_n)\le nVar(X_1)+2\cdot n(h-1)\cdot Var(X_1)$$

5. 最终化简与放缩
   合并同类项后：
   $$Var(S_n)\le nVar(X_1)\left[1+2(h-1)\right]=nVar(X_1)(2h-1)$$
   因为$h\ge1$，显然$2h-1\le2h$，所以最终得到：
   $$Var(S_n)\le 2nhVar(X_1)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者newbie