Hey there! Let's walk through this step by step to check if your result is correct, and figure out where things might have gone off track:

1. 先明确变换定义 #

你的变换$T$是：
$$T \textbf{x}=(\textbf{x} \cdot (3,2,1))(3,2,1)+(\textbf{x} \cdot (-1,0,-2))(-1,0,-2)$$
简单说，这是把向量$\textbf{x}$分别投影到$\textbf{v}_1=(3,2,1)$和$\textbf{v}_2=(-1,0,-2)$方向，再把这两个投影向量加起来的操作。

2. 重新计算每个标准基向量的像 #

咱们逐个算$\mathbf{i}=(1,0,0)$、$\mathbf{j}=(0,1,0)$、$\mathbf{k}=(0,0,1)$的变换结果：

• 计算$T(\mathbf{i})$

  • 点积$\mathbf{i} \cdot (3,2,1) = 13 + 02 + 01 = 3$，对应项为$3(3,2,1)=(9,6,3)$
  • 点积$\mathbf{i} \cdot (-1,0,-2) = 1*(-1) + 00 + 0(-2) = -1$，对应项为$-1*(-1,0,-2)=(1,0,2)$
  • 求和得到：$(9+1, 6+0, 3+2) = \boldsymbol{(10, 6, 5)}$

• 计算$T(\mathbf{j})$

  • 点积$\mathbf{j} \cdot (3,2,1) = 03 +12 +01=2$，对应项为$2(3,2,1)=(6,4,2)$
  • 点积$\mathbf{j} \cdot (-1,0,-2)=0*(-1)+10+0(-2)=0$，对应项为$(0,0,0)$
  • 求和得到：$(6+0,4+0,2+0) = \boldsymbol{(6,4,2)}$

• 计算$T(\mathbf{k})$

  • 点积$\mathbf{k} \cdot (3,2,1)=03+02+11=1$，对应项为$1(3,2,1)=(3,2,1)$
  • 点积$\mathbf{k} \cdot (-1,0,-2)=0*(-1)+00+1(-2)=-2$，对应项为$-2*(-1,0,-2)=(2,0,4)$
  • 求和得到：$(3+2,2+0,1+4) = \boldsymbol{(5,2,5)}$

3. 得到正确的标准矩阵 #

把上面三个结果作为列向量排列，就是$T$的标准矩阵：
$$\begin{bmatrix}10 & 6 & 5 \ 6 & 4 & 2 \ 5 & 2 & 5\end{bmatrix}$$

为什么你的结果不对？ #

你可能误以为这个变换是对角化的，但只有当$\mathbf{v}_1$和$\mathbf{v}_2$是正交单位向量且张成全空间时，矩阵才会是对角形式。而这里$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 3*(-1)+20+1(-2) = -5 \neq 0$，两个向量并不正交，所以变换矩阵必然会有非对角的交叉项，不可能是对角矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Goose