没问题，这是个典型的多元复合函数求偏导的问题，直接用链式法则就能解决，我给你一步步拆解清楚：

核心原理：多元复合函数的链式法则 #

当函数 ( u(x,t) = f(p(x,t)) ) 是通过中间变量 ( p ) 复合而成时，( u ) 对 ( x ) 或 ( t ) 的偏导数，等于外层函数 ( f ) 对中间变量 ( p ) 的导数，乘以中间变量 ( p ) 对对应自变量（( x ) 或 ( t )）的偏导数。

1. 求解 ( \partial u/\partial x ) #

• 首先，把 ( p(x,t) ) 看作一个整体的中间变量，外层函数 ( f ) 对这个中间变量求导，记为 ( f'(p(x,t)) )（这里的撇号表示 ( f ) 对其唯一自变量 ( p ) 的导数）；
• 然后，计算中间变量 ( p(x,t) ) 对 ( x ) 的偏导数 ( \partial p/\partial x )；
• 最后将两者相乘，得到：

  ∂u/∂x = f'(p(x,t)) · ∂p/∂x
  

2. 求解 ( \partial u/\partial t ) #

• 逻辑和求 ( \partial u/\partial x ) 完全一致：
  1. 外层函数 ( f ) 对中间变量 ( p ) 求导，得到 ( f'(p(x,t)) )；
  2. 计算中间变量 ( p(x,t) ) 对 ( t ) 的偏导数 ( \partial p/\partial t )；
  3. 两者相乘，得到：

  ∂u/∂t = f'(p(x,t)) · ∂p/∂t
  

举个实例验证 #

假设 ( f(p) = e^p )，( p(x,t) = x^2 + 3t )，代入公式计算：

• ( f'(p) = e^p )，( \partial p/\partial x = 2x )，所以 ( \partial u/\partial x = e^{x2+3t} · 2x = 2x e^{x2+3t} )；
• ( \partial p/\partial t = 3 )，所以 ( \partial u/\partial t = e^{x2+3t} · 3 = 3 e^{x2+3t} )；
  直接展开 ( u(x,t) = e^{x2+3t} ) 求偏导，结果完全一致，说明公式是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elena