首先得确认你的推导完全正确——因为$Y_1,\dots,Y_n$独立同分布，几何均值的期望确实能拆成$(E[Y_i^{1/n}])n$，这一步没问题。接下来的核心难点就是计算单个泊松变量的$1/n$次幂的期望，这确实没有初等的闭合形式，但我们可以从几个实用角度来处理：

1. 写出期望的级数表达式 #

对于$Y \sim Poisson(\lambda)$，根据期望的定义，直接展开就能得到：
$$
E[Y^{1/n}] = \sum_{k=0}^\infty k^{1/n} \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
$$
注意当$k=0$时，$0^{1/n}=0$，所以求和可以简化为从$k=1$开始：
$$
E[Y^{1/n}] = e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k \cdot k^{1/n}}{k!}
$$
这个级数的收敛速度非常快，因为分母的$k!$增长远快于分子的$\lambda^k$，所以对于具体的$\lambda$和$n$，只需要计算前几十项就能得到足够精确的数值结果。

2. 用特殊函数表示闭合形式 #

如果需要用数学符号来表示这个期望的闭合形式，就得借助广义超几何函数或者Mittag-Leffler函数这类特殊函数。比如我们可以把级数改写为：
$$
E[Y^{1/n}] = e^{-\lambda} \cdot \lambda^{1/n} \sum_{m=0}^\infty \frac{\lambda^m \cdot (m+1)^{1/n - 1}}{m!}
$$
这里令$m = k-1$，这个求和项可以用广义超几何函数$_1F_1$来表示（具体参数需要微调）。本质上，这就是泊松分布的分数阶矩，这类矩本身就没有初等表达式，必须依赖特殊函数来描述。

3. 大$\lambda$时的近似 #

当$\lambda$很大时，泊松分布可以用正态分布$N(\lambda, \lambda)$近似。我们可以对$Y^{1/n}$做泰勒展开来简化期望计算：
$$
Y^{1/n} = \lambda^{1/n} \left(1 + \frac{Y - \lambda}{\lambda}\right)^{1/n} \approx \lambda^{1/n} \left[1 + \frac{1}{n} \cdot \frac{Y - \lambda}{\lambda} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n} - 1\right) \cdot \left(\frac{Y - \lambda}{\lambda}\right)^2\right]
$$
对两边取期望，注意$E[Y - \lambda] = 0$，$E[(Y - \lambda)^2] = \lambda$，代入后得到近似式：
$$
E[Y^{1/n}] \approx \lambda^{1/n} \left(1 + \frac{1 - n}{2n^2 \lambda}\right)
$$
这个近似在$\lambda$越大时精度越高，能快速给出一个不错的估计值。

总结一下：如果需要数值结果，直接计算级数是最直接的方法；如果需要理论表达式，就得依赖特殊函数；大$\lambda$场景下可以用正态近似来简化计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ryan Simmons