这个问题问得特别戳中线性代数的核心——其实行列式和平行体体积的绑定，本质是线性变换对空间「缩放程度」的量化，咱们从直观到本质一步步说：

先从低维建立直观 #

先拿咱们能看得见的2、3维空间入手，一下子就能get到关联：

• 2维平面：如果矩阵$\mathbf{A}$的两列是平面向量$\vec{v_1}=(a,b)$、$\vec{v_2}=(c,d)$，它们张成的平行四边形面积就是$|ad-bc|$——这不就是2阶行列式的绝对值嘛！
• 3维空间：三个列向量张成的平行六面体体积，也正好等于$|\det(\mathbf{A})|$。你肯定记得，两个向量叉乘的模是平行四边形的底面积，再和第三个向量点乘取绝对值就是体积，而这个计算结果和3阶行列式的绝对值完全一致。

本质：线性变换的体积缩放因子 #

这才是最核心的逻辑：

• 我们把各边是标准基向量$\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}$的单位超立方体作为「基准」，它的Lebesgue测度（也就是n维体积）是1。
• 矩阵$\mathbf{A}$对应的线性变换，会把这个单位立方体映射成由$\vec{v_1}=\mathbf{A}\vec{e_1}, \vec{v_2}=\mathbf{A}\vec{e_2},..., \vec{v_n}=\mathbf{A}\vec{e_n}$张成的n维平行体。
• 行列式的绝对值，就是这个变换对空间体积的缩放比例：如果$|\det(\mathbf{A})|=k$，那变换后的平行体体积就是$k \times 1 = k$。
• 至于行列式的正负号，它管的是空间的「定向」——比如2维里的顺时针/逆时针翻转，3维里的左手系/右手系切换，但体积是个非负的量，所以只看绝对值就行。

为什么代数余子式的定义能对应体积？ #

其实行列式的几个核心性质，和体积的性质完美匹配：

1. 线性性：把某一列向量乘常数$c$，行列式也乘$c$——对应平行体某条边拉长$c$倍，体积也跟着变$c$倍。
2. 反对称性：交换两列，行列式变号——对应空间定向翻转，但体积大小不变。
3. 单位矩阵行列式为1——对应单位立方体的体积是1。

而你提到的代数余子式展开定义，其实是这些性质的必然结果：它用递归的方式，把n维体积拆解成n个n-1维体积的加权和，本质上和3维里「底面积×高」算体积的思路一模一样。比如3阶行列式按行展开，就是把平行六面体的体积拆成三个以不同面为底、对应行元素为高的小体积的代数和，完全符合体积的计算逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user424796