首先直接给结论：不是，我们可以构造反例来证明，同时先澄清你思路里的两个关键点：

1. 连续的$\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$函数不一定在$x\to\infty$时收敛于0；
2. 如果一个连续的$\mathcal{L}^{1(\mathbb{R})$函数确实在$x\to\infty$时收敛于0，那么它**一定属于$\mathcal{L}}2(\mathbb{R})$**。

构造反例（不趋于0的连续$L^{1$函数，不在$L}2$里） #

我们可以构造一个连续函数$f\in\mathcal{L}^{1(\mathbb{R})$，但$f\notin\mathcal{L}}2(\mathbb{R})$：

• 对于每个正整数$n\geq1$：
  1. 在区间$[n, n+\frac{1}{n^2}]$上，定义$f(x)$从0线性上升到$\sqrt{n}$；
  2. 在区间$[n+\frac{1}{n^2}, n+\frac{2}{n^2}]$上，定义$f(x)$从$\sqrt{n}$线性下降到0；
  3. 在区间$[n+\frac{2}{n^2}, n+1]$上，令$f(x)=0$；
• 在$(-\infty,1]$上，令$f(x)=0$（保证函数连续）。

验证$f\in\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ #

计算$f$的$L^1$积分：

• 每个区间$[n, n+\frac{2}{n^2}]$的积分是两个三角形面积之和：
  $$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$$
• 所有这些区间的积分总和是$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$，这是$p=\frac{3}{2}>1$的$p$-级数，收敛；
• $(-\infty,1]$上的积分是0，显然有限。

因此$|f|_{L^{1}<\infty$，即$f\in\mathcal{L}}1(\mathbb{R})$。

验证$f\notin\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ #

计算$f$的$L^2$积分：

• 每个区间$[n, n+\frac{2}{n^2}]$的平方积分是：
  $$\frac{1}{2} \cdot (\sqrt{n})^2 \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{n})^2 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$$
• 所有这些区间的平方积分总和是$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$，这是调和级数，发散；
• $(-\infty,1]$上的平方积分是0，有限。

因此$|f|_{L^{2}=\infty$，即$f\notin\mathcal{L}}2(\mathbb{R})$。

关于函数的连续性与极限 #

这个$f$是连续的：在所有区间端点，函数值都衔接为0，没有跳跃；但注意，当$x\to\infty$时，$f(x)$并没有收敛到0——比如取$x_n = n+\frac{1}{2n^{2}$，则$f(x_n)=\sqrt{n}\to\infty$。这说明你之前的猜想“连续$\mathcal{L}}1$函数必须在$x\to\infty$收敛于0”是不成立的。

为什么趋于0的连续$L^{1$函数一定在$L}2$里？ #

如果连续函数$f\in\mathcal{L}^{1(\mathbb{R})$且$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$，我们可以证明$f\in\mathcal{L}}2(\mathbb{R})$：

1. 因为$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$，对于任意$\varepsilon>0$，存在$M>0$，当$|x|>M$时，$|f(x)|<\varepsilon$；
2. 此时$\int_{|x|>M}|f(x)|^2dx \leq \varepsilon\int_{|x|>M}|f(x)|dx \leq \varepsilon|f|_{L^1}$，这部分积分可以任意小；
3. 在有界区间$[-M,M]$上，$f$连续，因此有界（设$\sup_{x\in[-M,M]}|f(x)|=C$），则$\int_{-M}^M|f(x)|2dx \leq C\int_{-M}^M|f(x)|dx < \infty$；
4. 两部分相加，$|f|{L^2}2 = \int{-M}^M|f(x)|2dx + \int_{|x|>M}|f(x)|^2dx < \infty$，因此$f\in\mathcal{L}^2(\mathbb{R})$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user479251