Hey，让我来帮你把这两个线性规划的问题理清楚：

其实找无穷最优解的核心逻辑很简单，就是看目标函数的等值线是否和可行域的某条边界线段完全平行，而且这条边界上的所有点都能达到最优值。具体可以按这几步来：

• 先求出一个顶点最优解：用图解法（二维问题超直观）或者单纯形法都可以，先找到一个能让目标函数取到最值的顶点。
• 检查最优解所在的边界：如果这个顶点属于一条可行域的边界线段（不是孤立的点），而且目标函数的斜率和这条边界对应的约束直线斜率完全一致，那这条线段上的所有点都是最优解——也就是无穷多最优解。
• 如果用单纯形法的话，看最优表的检验数：要是有非基变量的检验数为0，而且这个非基变量对应的列里有正的元素（能进基），那就说明存在无穷最优解。进基后你会得到另一个顶点最优解，这两个顶点之间的线段就是所有最优解的集合。

先把原问题摆出来，方便分析：
$$\text{max} \ Z=5x_1+3x_2$$
$$s.t.\
\begin{cases}
2x_1+x_2\le 8 \
3x_1+2x_2\ge 6 \
x_1,x_2\ge0
\end{cases}$$

思路 #

要让修改后的问题有无穷最优解，关键就是让目标函数的等值线和可行域的某条有效边界线段平行。这里的“有效边界”指的是：在目标函数最大化的方向上，这条边界是能让目标函数取到最大值的那部分区域（不是远离最优方向的边界）。

首先先拆解原可行域的各约束斜率：

• 约束$2x_1+x_2=8$变形为$x_2=-2x_1+8$，斜率是$-2$
• 约束$3x_1+2x_2=6$变形为$x_2=-\frac{3}{2}x_1+3$，斜率是$-1.5$
• 非负约束$x_1=0$（竖线，斜率无穷大）、$x_2=0$（横线，斜率0）

原目标函数$Z=5x_1+3x_2$的斜率是$-\frac{5}{3}≈-1.67$，介于$-2$和$-1.5$之间，所以最优解是$(4,0)$（$2x_1+x_2=8$和$x_2=0$的交点），是单个顶点。要改出无穷最优解，我们需要让目标函数斜率和某条可行域的边界斜率一致，而且这条边界是可行域的上边界（max方向的最优边界）——显然$2x_1+x_2=8$这条边界符合要求，它是可行域的上边界，而且是一条线段（从$(0,8)$到$(4,0)$）。

修改方法与验证 #

我们把目标函数改成和$2x_1+x_2=8$平行的形式，比如$\text{max} \ Z=2x_1+x_2$（系数和约束成比例就行，也可以是$4x_1+2x_2$、$6x_1+3x_2$这类，本质一样）。

现在验证：

1. 可行域还是原来的区域，所有约束不变。
2. 目标函数$Z=2x_1+x_2$的等值线和$2x_1+x_2=8$完全平行，当$Z$取最大值8时，等值线正好和这条边界线段重合。
3. 这条线段上的任意点都满足所有约束：比如$(3,2)$，代入$3x_1+2x_2=9+4=13≥6$，满足；$(0,8)$代入$30+28=16≥6$，也满足。
4. 所以这条线段上的所有点都是最优解，也就是无穷多最优解，最优值为8。

要是你想选其他平行形式，比如$\text{max} \ Z=4x_1+2x_2$，最优值就是16，同样这条线段上的所有点都是最优解，逻辑是一样的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user441848