首先得提个小细节：你的目标函数里的z和约束中的变量z重名了，容易混淆，我先把目标函数改成max Z = 2x + 4y，变量还是x,y,z，这样后续推导更清晰。

核心思路 #

线性规划的可行域是一个凸多面体，极点就是这个多面体的顶点，对应满足3个线性独立约束等式的点（因为变量数是3）。这里的约束包括原不等式取等号的情况，以及变量非负的边界（x=0、y=0、z=0）。我们只需要枚举所有可能的3个约束等式的组合，解方程组，再验证该点是否满足所有其他约束即可。

步骤1：列出所有约束的等式形式 #

把所有约束转化为等式（极点必在这些等式的交点上）：

• C₁：5x + 3y + 5z = 15（原第一个不等式取等）
• C₂：10x + 8y + 15z = 40（原第二个不等式取等）
• C₃：x = 0（x的非负边界）
• C₄：y = 0（y的非负边界）
• C₅：z = 0（z的非负边界）

步骤2：枚举所有3个约束的组合，求解并验证 #

我们逐个组合分析：

组合1：三个坐标面（C₃+C₄+C₅）

解方程组x=0,y=0,z=0，得到点(0,0,0)。验证原约束：

• 5*0+3*0+5*0=0 ≤15，10*0+8*0+15*0=0 ≤40，满足所有条件，是极点。

组合2：C₃+C₄+C₁

解x=0,y=0代入C₁：5z=15 → z=3，得到点(0,0,3)。验证C₂：15*3=45 >40，不满足原约束，不是极点。

组合3：C₃+C₄+C₂

解x=0,y=0代入C₂：15z=40 → z=8/3≈2.667，得到点(0,0,8/3)。验证C₁：5*(8/3)=40/3≈13.33 ≤15，满足所有条件，是极点。

组合4：C₃+C₅+C₁

解x=0,z=0代入C₁：3y=15 → y=5，得到点(0,5,0)。验证C₂：8*5=40 ≤40，满足所有条件，是极点。

组合5：C₃+C₅+C₂

解x=0,z=0代入C₂：8y=40 → y=5，得到点(0,5,0)，和组合4的结果一致，已经算过。

组合6：C₄+C₅+C₁

解y=0,z=0代入C₁：5x=15 → x=3，得到点(3,0,0)。验证C₂：10*3=30 ≤40，满足所有条件，是极点。

组合7：C₄+C₅+C₂

解y=0,z=0代入C₂：10x=40 → x=4，得到点(4,0,0)。验证C₁：5*4=20 >15，不满足原约束，不是极点。

组合8：C₃+C₁+C₂

解x=0代入C₁和C₂：

3y + 5z = 15
8y + 15z = 40

消元求解：第一个方程乘3得9y+15z=45，减去第二个方程得y=5，代入得z=0，得到点(0,5,0)，已存在。

组合9：C₄+C₁+C₂

解y=0代入C₁和C₂：

5x + 5z = 15 → x + z = 3
10x + 15z = 40 → 2x + 3z = 8

把x=3-z代入第二个方程：2*(3-z)+3z=8 → z=2，则x=1，得到点(1,0,2)。验证非负性和约束：

• x=1≥0,y=0≥0,z=2≥0
• 5*1+5*2=15 ≤15，10*1+15*2=40 ≤40，满足所有条件，是极点。

组合10：C₅+C₁+C₂

解z=0代入C₁和C₂：

5x + 3y =15
10x +8y=40

第一个方程乘2得10x+6y=30，减去第二个方程得-2y=-10 → y=5，代入得x=0，得到点(0,5,0)，已存在。

最终所有极点 #

整理后，可行域的极点有5个：

• (0, 0, 0)
• (0, 0, 8/3)
• (0, 5, 0)
• (3, 0, 0)
• (1, 0, 2)

如果要找目标函数的最大值，只需要把这些极点代入Z=2x+4y计算，取最大的那个值就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1775500