先明确所有设定 #

• 要加密的5字符消息：HELLO
• 公钥（两个1位数字）：(e=3, n=10)，其中e是加密指数，n是模数
• 私钥（两个1位数字）：(d=7, n=10)，其中d是解密指数，和公钥共用模数n
• 字符转数字规则：取每个字符ASCII码的最后一位（比如H的ASCII是72→取2，E是69→取9，以此类推）

第一步：把明文消息转成数字序列 #

先把HELLO的每个字符转成数字：

• H → 72 → 2
• E → 69 → 9
• L → 76 → 6
• L → 76 → 6
• O → 79 → 9
  得到明文数字序列：[2, 9, 6, 6, 9]

第二步：用公钥加密消息 #

加密规则很简单：密文数字 = (明文数字)^e mod n（^表示次方，mod是取余数）
咱们逐个计算：

• 第一个数字2：2^3 = 8 → 8 mod 10 = 8
• 第二个数字9：9^3 = 729 → 729 mod 10 = 9
• 第三个数字6：6^3 = 216 → 216 mod 10 = 6
• 第四个数字6：和上面一样，结果是6
• 第五个数字9：和第二个一样，结果是9
  得到密文数字序列：[8, 9, 6, 6, 9]

第三步：用私钥解密消息 #

解密规则是加密的逆操作：明文数字 = (密文数字)^d mod n
同样逐个计算：

• 第一个密文8：8^7 = 2097152 → 2097152 mod 10 = 2
• 第二个密文9：9^7 = 4782969 → 4782969 mod 10 = 9
• 第三个密文6：6^7 = 279936 → 279936 mod 10 = 6
• 第四个密文6：结果是6
• 第五个密文9：结果是9
  解密后得到数字序列：[2, 9, 6, 6, 9]，再转回到字符就是HELLO，完美还原！

为什么这对密钥能工作？ #

这里的核心逻辑和RSA一致：公钥的加密指数e和私钥的解密指数d满足 (e*d) mod φ(n) = 1，其中φ(n)是欧拉函数（简单说就是1到n-1里和n互质的数的个数）。
对于n=10，φ(10)=4（1、3、7、9这四个数和10互质），我们选的e=3，d=7，3*7=21，21 mod4=1，刚好符合条件，所以加密解密能互相逆推。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paul Palmer