问题回顾 #

在峡谷中修建了一座高度为128英尺的混凝土坝。峡谷一侧AB的坡度为$60^{o$，另一侧CD的坡度为$45}o$。坝体的基底为水平矩形，下基底尺寸为1215英尺×152英尺，上基底宽度为32英尺。请问需要多少立方码的混凝土？

拆解思路 #

我当时对着这个问题琢磨了好一会儿，最后发现把坝体拆成绿色直棱柱和红色楔形体两部分来计算体积，会清晰很多——调整视角后，这两个部分的形态一目了然，计算起来也没那么复杂。

第一步：计算绿色部分体积 #

绿色部分是个规则的长方体（直棱柱），体积计算直接套用长方体公式就行：

• 坝体沿着峡谷的长度：1215英尺
• 上基底宽度（也就是绿色部分的宽度）：32英尺
• 坝体高度：128英尺

体积计算公式：
体积 = 长度 × 宽度 × 高度

代入数值：
绿色体积 = 1215 × 32 × 128 = 4,976,640 立方英尺

第二步：计算红色部分体积 #

红色部分是两个贴合峡谷坡度的楔形体，我们需要先算出垂直峡谷方向的横截面中，红色部分的总面积，再乘以坝体长度1215英尺。

首先利用峡谷两侧的坡度，验证基底宽度的合理性：

• 峡谷AB侧坡度$60^o$：坡面与水平方向夹角为60°，对应水平投影宽度 = 坝高 ÷ tan($60^o$) = $128 ÷ √3 ≈ 73.92$ 英尺
• 峡谷CD侧坡度$45^o$：同理，水平投影宽度 = 坝高 ÷ tan($45^o$) = $128 ÷ 1 = 128$ 英尺

结合题目给定的下基底宽度152英尺，我们取实际基底的宽度差计算红色部分的横截面面积：下基底总宽度减去上基底宽度，得到两侧楔形体的总水平宽度为 $152 - 32 = 120$ 英尺。

红色部分的横截面可看作梯形，面积公式：
横截面面积 = (顶部宽度 + 底部宽度) ÷ 2 × 高度 = (0 + 120) ÷ 2 × 128 = 7,680 平方英尺

红色部分的体积：
红色体积 = 横截面面积 × 长度 = 7,680 × 1215 = 9,072,000 立方英尺

第三步：总混凝土体积（转换成立方码） #

先把两部分体积相加得到总立方英尺：
总体积（立方英尺）= 4,976,640 + 9,072,000 = 14,048,640 立方英尺

因为1立方码 = 27立方英尺，转换单位后：
总体积（立方码）= 14,048,640 ÷ 27 = 520,320 立方码

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fitzmerl duron