先拆解这个问题，我们一步步来梳理：

首先，先化简函数里的$\sinh(\ln(x))$部分——根据双曲正弦的定义$\sinh(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$，代入$t=\ln(x)$（这里注意：实数域内$\ln(x)$的定义域是$x>0$，但你的正确解包含负数，说明题目里的$\ln(x)$应该是$\ln|x|$，大概率是输入时遗漏了绝对值，这是第一个关键点）：

• 当$x>0$时，$\sinh(\ln(x)) = \frac{e^{\ln x} - e^{-\ln x}}{2} = \frac{x - \frac{1}{x}}{2}$
• 当$x<0$时，$\sinh(\ln|x|) = \sinh(\ln(-x)) = \frac{(-x) - \frac{1}{-x}}{2} = \frac{-x + \frac{1}{x}}{2}$

接下来看根号内的表达式非负的要求：

情况1：$x>0$ #

代入化简后的$\sinh(\ln(x))$，根号内的式子为：
$$
x - 6 \times \frac{x - \frac{1}{x}}{2} = x - 3\left(x - \frac{1}{x}\right) = -2x + \frac{3}{x}
$$
要求$-2x + \frac{3}{x} \geq 0$，这里不能直接两边乘$x$就完事——因为$x>0$，乘$x$后不等号方向不变：
$$
-2x^2 + 3 \geq 0 \implies x^2 \leq \frac{3}{2}
$$
结合$x>0$，得到$0 < x \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$，这和正确解的一部分匹配。

情况2：$x<0$（对应$\ln|x|$的情况） #

代入$\sinh(\ln|x|)$，根号内的式子为：
$$
x - 6 \times \frac{-x + \frac{1}{x}}{2} = x - 3\left(-x + \frac{1}{x}\right) = 4x - \frac{3}{x}
$$
要求$4x - \frac{3}{x} \geq 0$，此时$x<0$，乘$x$后不等号方向必须反转：
$$
4x^2 - 3 \leq 0 \implies x^2 \leq \frac{3}{2}
$$
结合$x<0$，得到$x \leq -\sqrt{\frac{3}{2}}$，这就是正确解的另一部分。

你的错误根源 #

你得到$x \leq \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$，主要犯了两个关键错误：

• 忽略了定义域的前提：如果是$\ln(x)$，负数$x$根本不在$\ln(x)$的定义域内；如果是$\ln|x|$，你错误地把$x<0$时的$\sinh$化简和$x>0$的情况混为一谈，用错了表达式。
• 解不等式时没考虑$x$的正负：直接对$-2x + \frac{3}{x} \geq 0$两边乘$x$却不改变不等号方向，也没拆分$x>0$和$x<0$的情况，导致得到了错误的范围，还把负数和正数的情况错误合并成了$x \leq \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$——实际上$\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$是两个独立的区间，不能写成这种不严谨的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者B.C.W.