没问题，我来一步步帮你拆解这个基变换的问题，逻辑和计算过程都给你理清楚：

a) 求从标准基到基B和B'的基变换矩阵 #

首先明确，$\mathbb{R}^2$的标准基是 $E = {e_1=(1,0), e_2=(0,1)}$，基变换矩阵的核心定义是：把目标基的向量作为列向量组成的矩阵，就是从标准基到该目标基的坐标变换矩阵（简单说，这个矩阵能把标准基下的坐标映射到目标基下坐标对应的向量）。

• 对于基 $B = {u_1=(1,1), u_2=(1,-1)}$：
  我们先把每个基向量用标准基线性表示：
  $u_1 = 1\cdot e_1 + 1\cdot e_2$，$u_2 = 1\cdot e_1 + (-1)\cdot e_2$
  所以从标准基到B的基变换矩阵 $P$ 就是将 $u_1, u_2$ 作为列向量构成的矩阵：

  P = [[1, 1],
       [1, -1]]
  

• 对于基 $B' = {u'_1=(2,0), u'_2=(3,1)}$：
  同理，$u'_1 = 2\cdot e_1 + 0\cdot e_2$，$u'_2 = 3\cdot e_1 + 1\cdot e_2$
  从标准基到B'的基变换矩阵 $Q$ 为：

  Q = [[2, 3],
       [0, 1]]
  

b) 求从基B到B'的基变换矩阵 #

这里的核心思路是利用基变换的复合性：要从B变换到B'，可以先从B切换到标准基，再从标准基切换到B'，两步复合起来就是最终的变换矩阵。

1. 从B到标准基的变换矩阵是 $P^{-1}$（因为P是标准基到B的正向变换矩阵，逆矩阵就是反向变换的矩阵）
2. 从标准基到B'的坐标变换矩阵是 $Q^{-1}$（Q是把标准基向量转换为B'下坐标的映射矩阵，逆矩阵则是反向操作）

你已经算出 $Q^{-1}$（也就是B'对应基变换矩阵的逆矩阵）是：

Q⁻¹ = [[1/2, -3/2],
       [0,    1   ]]

接下来先计算 $P$ 的逆矩阵 $P^{-1}$：
$P$ 的行列式是 $1\times(-1) - 1\times1 = -2$，所以逆矩阵为：

P⁻¹ = [[1/2,  1/2],
       [1/2, -1/2]]

然后，从B到B'的基变换矩阵就是从标准基到B'的变换矩阵乘以从B到标准基的变换矩阵，也就是 $Q^{-1} \times P$：

\begin{bmatrix}
-1 & 2 \
1 & -1
\end{bmatrix}
$$

简单验证一下：比如取B中的向量 $u_1=(1,1)$，它在B下的坐标是 $(1,0)$，用这个变换矩阵乘以 $(1,0)$ 得到 $(-1,1)$，对应B'下的向量就是 $-1\times u'_1 + 1\times u'_2 = -1\times(2,0)+1\times(3,1)=(1,1)$，和原向量完全一致，说明计算是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者winklerm