Alright, let's break down the proof of the Euler-Maclaurin summation formula first, then use it to derive the expansion for the partial sum of the p-series $\sum_{k=1}^n k^{-\alpha}$.

一、证明欧拉-麦克劳林求和公式 #

已知$m, n \in \mathbb{Z}$，且$f$在区间$[m, n]$上具有连续导数，我们要证明：
$$\sum_{k=m} ^{n} f(k) = \int_m ^n f(x) dx + \frac{1}{2} f(m) + \frac{1}{2} f(n) + \int_m ^n f'(x) n(x) dx$$
其中$n(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$，$[x]$表示不超过$x$的最大整数（地板函数）。

步骤1：拆分单个区间的积分 #

对任意满足$m \leq k < n$的整数$k$，我们把区间$[k, k+1]$拆成$[k, k+\frac{1}{2}]$和$[k+\frac{1}{2}, k+1]$两段。利用分部积分（注意在$[k, k+1]$上$n'(x)=1$，因为此时$n(x)=x-k-\frac{1}{2}$），可以得到提示里的两个关键等式：

• $\displaystyle \int _{k} ^{k + \frac{1}{2}} f(x) dx = \frac{1}{2} f(k) - \int _{k} ^{k + \frac{1}{2}} f'(x) n(x) dx$
• $\displaystyle \int _{k + \frac{1}{2}} ^{k+1} f(x) dx = \frac{1}{2} f(k+1) - \int _{k + \frac{1}{2}} ^{k+1} f'(x) n(x) dx$

步骤2：对所有区间求和 #

把这两个等式相加，得到$[k, k+1]$上的积分结果：
$$\int_k^{k+1} f(x)dx = \frac{1}{2}f(k) + \frac{1}{2}f(k+1) - \int_k^{k+1} f'(x)n(x)dx$$

接下来对$k$从$m$到$n-1$求和：

• 左边求和：$\sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} f(x)dx = \int_m^n f(x)dx$（这是定积分的定义，把区间拆成子区间积分再相加）
• 右边求和：
  • 前两项的和：$\sum_{k=m}^{n-1} \left( \frac{1}{2}f(k) + \frac{1}{2}f(k+1) \right) = \frac{1}{2}f(m) + \sum_{k=m+1}^{n-1} f(k) + \frac{1}{2}f(n)$（中间项两两抵消，只剩下端点的半值和中间的完整求和项）
  • 积分项的和：$\sum_{k=m}^{n-1} \int_k^{k+1} f'(x)n(x)dx = \int_m^n f'(x)n(x)dx$（相邻区间的积分合并成整个区间的积分）

步骤3：整理得到公式 #

现在把等式变形，把完整求和项$\sum_{k=m}^n f(k)$单独放到左边：
$$\int_m^n f(x)dx = \left( \frac{1}{2}f(m) + \sum_{k=m+1}^{n-1}f(k) + \frac{1}{2}f(n) \right) - \int_m^n f'(x)n(x)dx$$

移项后就得到最终的欧拉-麦克劳林求和公式：
$$\sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(x)dx + \frac{1}{2}f(m) + \frac{1}{2}f(n) + \int_m^n f'(x)n(x)dx$$

二、推导$\sum_{k=1}^n k^{-\alpha}$的完整等式 #

我们把刚才证明的公式应用到$f(x) = x^{-\alpha}$上（这里$\alpha \neq 1$，$\alpha=1$是调和级数，需要用稍不同的展开方式）。

先计算公式里的每一项：

1. 定积分项：$\int_1^n x^{-\alpha}dx = \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha}$（仅当$\alpha \neq 1$时成立）
2. 端点项：$\frac{1}{2}f(1) + \frac{1}{2}f(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}n^{-\alpha}$
3. 导数积分项：$f'(x) = -\alpha x^{{-\alpha-1}$，所以$\int_1}n f'(x)n(x)dx = -\alpha \int_1^n x^{-\alpha-1} n(x)dx$

把这些代入欧拉-麦克劳林公式，得到：
$$\sum_{k=1}^n k^{-\alpha} = \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1-\alpha} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}n^{-\alpha} - \alpha \int_1^n x^{-\alpha-1} n(x)dx$$

注意到$|n(x)| \leq \frac{1}{2}$对所有$x$成立，所以这个积分项是有界的；当$\alpha > 0$时，$n \to \infty$时该积分会收敛到一个常数（这个常数和黎曼zeta函数、欧拉-马歇罗尼常数相关，具体值依$\alpha$而定）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem