嘿，咱们一步步来解决你的组合计数问题，先从你给出的具体例子入手，再推广到通用方法，最后搞定你提到的第一个问题：

一、你的具体例子的计算方法 #

先看你给的13个对象：A-G各1个，H有2个，I有4个，要求选6个且同一字母类型最多选1个。这个问题可以拆成两步想：先选要包含哪几种类型，再从每种选中的类型里挑一个具体对象，最后把所有可能的情况加起来就行。

咱们分4种情况来算：

• 情况1：不选H也不选I
  只能从A-G这7种类型里挑6种，每种类型只有1个对象可选。选类型的方式是组合数C(7,6)=7，每种组合对应的对象选择只有1种，所以这部分总数是7×1=7。

• 情况2：选H但不选I
  需要从A-G里挑5种，加上H类型。选类型的方式是C(7,5)=21，H类型有2个对象可选，其他5种各1种，所以每种组合的对象选择数是2×1×1×1×1×1=2，这部分总数是21×2=42。

• 情况3：选I但不选H
  和情况2类似，从A-G里挑5种加I类型，选类型的方式是C(7,5)=21，I类型有4个对象可选，所以这部分总数是21×4=84。

• 情况4：既选H又选I
  需要从A-G里挑4种，加上H和I类型。选类型的方式是C(7,4)=35，H有2种选择、I有4种选择，其他4种各1种，所以每种组合的对象选择数是2×4×1^4=8，这部分总数是35×8=280。

把所有情况加起来：7+42+84+280=413，这就是你例子的合法选取方式总数。

二、通用化的计算方法 #

如果换成一般情况：假设集合有k种不同类型，第i种类型有m_i个可区分的对象，要选x个对象且每种类型最多选1个，总方式数可以这么算：

1. 先枚举所有从k种类型里选x种的可能子集；
2. 对每个选中的类型子集，把每种类型的可选对象数相乘（因为每种类型选一个，选择是独立的）；
3. 把所有这些乘积加起来，就是总合法方式数。

用数学语言说，就是计算第x个初等对称多项式在m₁, m₂, ..., mₖ处的值，公式写出来是：
$$\sum_{\substack{S \subseteq {1,2,...,k} \ |S|=x}} \prod_{i \in S} m_i$$

三、关于你第一个问题：非互异集合中选x个不同子集的数量 #

你说的“非互异集合”应该是指多重集合（比如有重复元素的集合，像{2个a, 3个b}这种）。如果是要算从多重集合里选x个元素的不同组合（不考虑顺序），分两种情况：

• 如果每种元素的数量都≥x：这是经典的「可重复组合」问题，公式是C(x + k - 1, x)，其中k是不同元素的类型数；
• 如果有的元素数量小于x：这时候得用容斥原理来排除那些选了超过元素数量的组合。比如多重集合S={n₁*a₁, n₂*a₂, ..., nₖ*aₖ}，选x个元素的组合数公式是：
  $$\sum_{S' \subseteq {1,2,...,k}} (-1)^{|S'|} C(x - \sum_{i \in S'}(n_i+1) + k - 1, k - 1)$$
  （注意：如果x - ∑(n_i+1)是负数，对应的组合数就按0算）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527452