嗨，这个问题问到点子上了——本质是运动微分方程的解具有渐近收敛特性，咱们从受力分析到方程求解一步步理清楚：

第一步：下落过程的受力拆解 #

物体在流体中下落时，一共受到三个力：

• 向下的重力：$mg$（$m$是物体质量，$g$是重力加速度）
• 向上的浮力：$\rho V g$（$\rho$是流体密度，$V$是物体排开流体的体积）
• 与速度相关的阻力：阻力大小随速度增加而增大，常见两种形式：
  • 低雷诺数场景（比如细沙在水中下落）：斯托克斯阻力，$f(v) = 6\pi\eta r v$（$\eta$是流体粘度，$r$是物体半径），阻力和速度线性相关
  • 高雷诺数场景（比如人跳伞）：平方阻力，$f(v) = \frac{1}{2}\rho C_d A v^2$（$C_d$是拖曳系数，$A$是物体迎风面积），阻力和速度平方相关

我们把重力减去浮力的差值叫做净驱动力$F_0 = mg - \rho V g$，这是让物体加速下落的核心。

第二步：列运动方程（牛顿第二定律） #

根据牛顿第二定律，物体的加速度等于合外力除以质量：
$$m\frac{dv}{dt} = F_0 - f(v)$$
这里$\frac{dv}{dt}$是速度随时间的变化率（加速度）。

第三步：终端速度的定义 #

当物体的加速度为0时，速度不再变化，此时的速度就是终端速度$v_t$。代入方程可得：
$$F_0 = f(v_t)$$
解这个等式就能算出具体的终端速度数值——比如线性阻力下$v_t = \frac{F_0}{k}$（$k$是阻力公式里的常数），平方阻力下$v_t = \sqrt{\frac{2F_0}{\rho C_d A}}$。

第四步：为什么需要无限时间才能达到$v_t$？ #

咱们拿线性阻力的情况举例，把$f(v)=kv$代入运动方程，得到：
$$m\frac{dv}{dt} = F_0 - kv$$
这是一个一阶线性微分方程，解出来的速度随时间变化的表达式是：
$$v(t) = v_t\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)$$

你看这个表达式：

• 当$t=0$时，$v=0$，符合初始状态；
• 随着时间$t$增大，指数项$e^{-\frac{kt}{m}}$会越来越小，但永远不会等于0——不管$t$取多大的有限值，这个指数项都还有极小的剩余，所以$v(t)$永远会比$v_t$小一点点，理论上只有当$t\rightarrow\infty$时，$v(t)$才会趋近于$v_t$。

平方阻力的情况类似，解出来的速度表达式虽然不是简单的指数形式，但同样是渐近收敛到$v_t$的：当速度接近$v_t$时，合外力趋近于0，加速度也趋近于0，速度的变化率越来越慢，慢到永远无法完全达到终端速度。

实际中的“达到终端速度” #

当然，这只是理论上的结论。实际中，当速度和$v_t$的差值小到我们无法测量或者不影响实际结果时，就会认为物体已经达到了终端速度。比如线性阻力下，当$t=\frac{5m}{k}$时，$e^{-5}\approx0.0067$，此时速度已经是$v_t$的99.3%，从实际角度看，和终端速度几乎没有区别了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ketkee