咱们一步步来拆解这个问题：

已知条件 #

• 存在两个函数 $g,f:\mathbb{R_+^2}\rightarrow\mathbb{R_+}$，自变量均为 $x_1$ 和 $x_2$
• 定义新函数 $H(x_1,x_2) = f(x_1,x_2) + g(x_1,x_2)$
• 已知偏导数条件：$\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} = 1$，$\frac{\partial g(x_1,x_2)}{\partial x_2} = 1$

推导过程 #

根据偏导数的线性加法法则，我们可以直接对 $H$ 关于 $x_1$ 求偏导：
$$\frac{\partial H(x_1,x_2)}{\partial x_1} = \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial g(x_1,x_2)}{\partial x_1}$$

把已知的 $\frac{\partial f}{\partial x_1}=1$ 代入上式，就得到：
$$\frac{\partial H(x_1,x_2)}{\partial x_1} = 1 + \frac{\partial g(x_1,x_2)}{\partial x_1}$$

符号判断 #

这里要注意：题目只告诉我们 $g$ 的定义域和值域都是正实数集，以及 $g$ 对 $x_2$ 的偏导为1，但完全没有给出 $g$ 对 $x_1$ 的偏导信息——这个偏导的值可以是正数、负数，甚至零。

因此，仅凭借现有条件，我们无法确定 $\frac{\partial H(x_1,x_2)}{\partial x_1}$ 的符号，必须补充关于 $\frac{\partial g}{\partial x_1}$ 的额外条件才能得出结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user526463