首先，我们先明确目标事件：我们需要计算的是**中位数$X_{(2)}$比最大值$X_{(3)}$更靠近最小值$X_{(1)}$**的概率，用数学表达式写出来就是：
$$
P(X_{(2)} - X_{(1)} < X_{(3)} - X_{(2)})
$$
整理这个不等式后，等价于：
$$
P(2X_{(2)} < X_{(1)} + X_{(3)})
$$

利用指数分布顺序统计量的关键性质 #

对于独立同分布的指数随机变量，它们的顺序统计量之间的间隔有个非常实用的性质：
假设$X_1,X_2,X_3 \sim \text{Exp}(\lambda)$（参数$\lambda$不影响最终概率，后续可简化为$\lambda=1$），定义三个间隔变量：

• $Y_1 = X_{(1)}$（最小值）
• $Y_2 = X_{(2)} - X_{(1)}$（中位数与最小值的间隔）
• $Y_3 = X_{(3)} - X_{(2)}$（最大值与中位数的间隔）

这三个变量相互独立，且分别服从：

• $Y_1 \sim \text{Exp}(3\lambda)$
• $Y_2 \sim \text{Exp}(2\lambda)$
• $Y_3 \sim \text{Exp}(\lambda)$

这个性质来自指数分布的无记忆性：当观察到最小值后，剩余两个变量的“剩余寿命”仍服从指数分布，参数依次递减为$2\lambda$、$\lambda$。

转化问题并计算概率 #

现在，目标事件$X_{(2)} - X_{(1)} < X_{(3)} - X_{(2)}$直接等价于$Y_2 < Y_3$，我们只需要计算$P(Y_2 < Y_3)$。

对于两个独立的指数变量$Y \sim \text{Exp}(a)$、$Z \sim \text{Exp}(b)$，有现成的概率公式：
$$
P(Y < Z) = \frac{a}{a + b}
$$

这里$a=2\lambda$，$b=\lambda$，代入得：
$$
P(Y_2 < Y_3) = \frac{2\lambda}{2\lambda + \lambda} = \frac{2}{3}
$$

积分验证（可选） #

如果想通过联合顺序统计量的PDF积分验证，我们可以这样做：
三个顺序统计量$X_{(1)} \leq X_{(2)} \leq X_{(3)}$的联合PDF为：
$$
f_{X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}(x_1,x_2,x_3) = 6\lambda^3 e^{-\lambda(x_1+x_2+x_3)}, \quad 0 < x_1 < x_2 < x_3
$$

我们需要在区域$x_1 < x_2 < x_3$且$2x_2 < x_1 + x_3$上积分：
$$
P(2X_{(2)} < X_{(1)} + X_{(3)}) = \int_{x_1=0}^{\infty} \int_{x_2=x_1}^{\infty} \int_{x_3=2x_2 - x_1}^{\infty} 6\lambda^3 e^{-\lambda(x_1+x_2+x_3)} dx_3 dx_2 dx_1
$$

先对$x_3$积分：
$$
\int_{x_3=2x_2 - x_1}^{\infty} e^{-\lambda x_3} dx_3 = \frac{e^{-\lambda(2x_2 - x_1)}}{\lambda}
$$

代入后化简指数部分，再依次对$x_2$、$x_1$积分，最终结果同样为$\frac{2}{3}$，和间隔变量法的结论一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者queence