嘿，这个问题的关键其实藏在那个看似简单的条件里！先给你理清楚思路，一步步来：

第一步：拆解已知条件 #

因为复数的模是非负的，所以|f(1/2)| + |f(-1/2)|=0这个等式只有一种可能——f(1/2)=0且f(-1/2)=0。这是最容易被忽略的突破口，直接给了我们f的两个零点。

第二步：构造符合施瓦茨引理要求的辅助函数 #

对于单位圆盘内有零点的全纯函数，我们通常用分式线性变换来“消去”零点，构造出满足施瓦茨引理条件的新函数。这里f有两个零点1/2和-1/2，我们用单位圆盘到自身的全纯同构变换：

φ_a(z) = (z - a)/(1 - \overline{a}z)

这个变换的特点是φ_a(a)=0，且当|z|<1时|φ_a(z)|<1。

我们把f的两个零点对应的变换相乘，得到f(z)的分解式：

f(z) = φ_{1/2}(z) * φ_{-1/2}(z) * g(z)

这里的g(z)是单位圆盘𝔻上的全纯函数，并且满足g:𝔻→𝔻（因为f和两个φ变换都把𝔻映射到𝔻，乘积的逆也保持这个性质）。

第三步：代入z=0推导结论 #

先计算两个变换在z=0处的值：

• φ_{1/2}(0) = (0 - 1/2)/(1 - 0) = -1/2
• φ_{-1/2}(0) = (0 + 1/2)/(1 - 0) = 1/2

它们的乘积是φ_{1/2}(0)*φ_{-1/2}(0) = (-1/2)*(1/2) = -1/4，模长为1/4。

现在把z=0代入f(z)的表达式：

f(0) = φ_{1/2}(0)*φ_{-1/2}(0)*g(0)

两边取模长：

|f(0)| = |φ_{1/2}(0)*φ_{-1/2}(0)| * |g(0)| = (1/4)*|g(0)|

因为g是从𝔻到𝔻的全纯函数，根据施瓦茨引理（或者最大模原理），|g(0)| ≤ 1，所以直接得到：

|f(0)| ≤ 1/4

为什么你之前的尝试行不通？ #

你之前构造的g(z)=(f(z+1/2)+f(z-1/2))/2确实有问题——当z取大于1/2的值时，z+1/2会超出单位圆盘，而f只在𝔻上有定义，所以这个函数没法覆盖整个𝔻，自然没法用施瓦茨引理。我们用分式线性变换的思路，是在单位圆盘内部处理零点，不会超出定义域，这是这类问题的标准解法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user401516