没问题，我来帮你把剩下的推导理清楚！你选的“偏导数连续则函数可微”这条判定路径完全正确，接下来只要两步就能收尾：

你已经求出了两个偏导数：

• 对x的偏导数：f_x(x,y) = 2x - 4
• 对y的偏导数：f_y(x,y) = 2y

这两个都是二元一次多项式函数，而初等函数（包括多项式）在其定义域内都是连续的。这里它们的定义域是整个二维平面（所有(x,y) ∈ ℝ²），所以不管你取哪个开区域A，这两个偏导数在A内必然是连续的——这是数学分析里的基础结论，直接用就可以。

根据你提到的核心定理：

如果多元函数在开区域A内存在偏导数，且所有偏导数在A内连续，那么该函数在A内可微。

现在我们已经满足了定理的两个前提条件：

1. 函数f(x,y) = x² - 4x + y²在任意开区域A内的偏导数f_x和f_y都存在（你已经求出了具体表达式，且对A内所有点都有定义）；
2. 两个偏导数在A内连续（第一步已经确认）。

所以直接可以得出结论：函数f(x,y)在其定义域内的任意开区域A内都是可微的（也就是在整个二维平面上处处可微）。

如果你想绕开定理，从可微的原始定义出发证明，也可以这么做：
可微的定义是：对于点(x,y)，存在常数A和B，当(Δx, Δy) → (0,0)时，满足：
$$\Delta f = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) = A\Delta x + B\Delta y + o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)$$

先计算Δf：
$$
\begin{align*}
\Delta f &= (x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + (y+\Delta y)^2 - (x² - 4x + y²) \
&= x² + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 4x - 4\Delta x + y² + 2y\Delta y + (\Delta y)^2 - x² + 4x - y² \
&= (2x-4)\Delta x + 2y\Delta y + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
\end{align*}
$$

接下来看余项(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2，它和\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}的比值为：
$$\frac{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$
当(Δx, Δy) → (0,0)时，这个比值趋近于0，说明余项是o\left(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\right)，完全符合可微的定义，其中A = f_x(x,y)，B = f_y(x,y)，同样能证明函数可微。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex5207