首先要告诉你，你的结论是正确的，这个函数在$(0,0)$处确实不可微，不过我们可以把推导过程再梳理得更贴合可微的严格定义，帮你巩固这类问题的判断逻辑：

第一步：计算偏导数（你的这部分推导完全正确） #

根据偏导数的定义式：

• $f_x(0,0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{h^3}{h2}-0}{h}=1$
• 同理，$f_y(0,0)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=1$

第二步：用可微的核心定义验证 #

二元函数在$(0,0)$处可微的核心要求是：存在常数$A,B$（这里就是我们算出的偏导数1和1），使得
$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-Ax-By}{\sqrt{x^2+y2}}=0$$

我们代入$f(x,y)$和偏导数的值，先化简分子部分：
$$f(x,y)-0 -x -y = \frac{x^3+y3}{x^2+y2} -x -y = \frac{x^3+y3 -x(x^2+y2)-y(x^2+y2)}{x^2+y2}$$
展开并合并同类项后，分子变为：
$$x^3+y3 -x^3 -xy^2 -yx^2 -y^3 = -xy(x+y)$$
因此整个极限式简化为：
$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{-xy(x+y)}{(x^2+y2)^{3/2}}$$

我们用特殊路径法验证这个极限：取$y=x$，当$x\rightarrow0^+$时，代入得：
$$\frac{-x\cdot x(2x)}{(2x²⁾{3/2}} = \frac{-2x^{3}{2\sqrt{2}x}3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$$
这说明该极限不趋于0，完全满足不可微的判定条件。

给你几个避免此类错误的小技巧 #

• 始终紧扣可微的严格定义，不要凭直觉拆分函数，核心要判断“余项是否是$\sqrt{x^2+y2}$的高阶无穷小”；
• 验证极限时，优先尝试特殊路径（比如$y=kx$、$y=x^n$），只要找到一条路径使得极限不为0，就能直接判定不可微；
• 在分段点处计算偏导数时，一定要用定义式，不要直接求导后代入，避免因函数连续性问题出错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userNoOne