我在理解贝克伦巴赫所著《不等式导论》第二章第24页习题1时遇到了困难，题目要求证明：对所有实数$a$、$b$，有
$$ \frac{(a+b)}{2} \le \left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right)\frac{1}{2} $$

书后答案显示该不等式等价于$(a - b)^2 \ge 0$。我参考相关解答尝试了如下推导：
$$ \begin{align} \frac{a+b}{2} &\le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ \frac{a+b}{2} &\le \sqrt{\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{4}} \ \frac{a+b}{2} &\le \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\left(1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\right)} \ \frac{a+b}{2} &\le \frac{a+b}{2}\sqrt{1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}... \end{align} $$

推导思路解析与修正指导 #

你的思路方向是对的，但有个容易忽略的细节：当$a+b < 0$时，$\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$的结果是$\left|\frac{a+b}{2}\right|$，而非直接等于$\frac{a+b}{2}$，这会导致后续步骤的不等号方向可能出问题。其实更稳妥且通用的方法是从分情况讨论+平方变形入手，这也是这类不等式证明的经典思路：

步骤1：分情况简化问题

• 当$a + b < 0$时，左边$\frac{a+b}{2}$是负数，而右边$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$是平方根，必然是非负的，此时不等式$\text{负数} \le \text{非负数}$显然成立。
• 当$a + b \ge 0$时，两边都是非负数，我们可以对不等式两边同时平方（非负数平方后不等号方向不变），将原不等式转化为更易处理的代数形式：
  $$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \frac{a^2 + b^2}{2} $$

步骤2：展开与化简

把左边展开：
$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2 + b^2}{2} $$
两边同时乘以4消去分母（正数，不等号方向不变）：
$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$
将所有项移到右侧合并：
$$ 0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$
化简后得到：
$$ (a - b)^2 \ge 0 $$

步骤3：验证可逆性

因为$(a - b)^2 \ge 0$对所有实数$a$、$b$都成立（任何实数的平方都非负），且我们在$a + b \ge 0$时的每一步推导都是可逆的（平方、乘正数都是可逆操作），所以原不等式在$a + b \ge 0$时也成立。

针对你原有推导的修正延续 #

如果想继续用你最初的思路，只需要补上绝对值的处理：
当$a+b > 0$时，$\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2} = \frac{a+b}{2}$，你的最后一步可以继续：
$$ \frac{a+b}{2} \le \frac{a+b}{2}\sqrt{1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} $$
两边同时除以$\frac{a+b}{2}$（正数，不等号方向不变）：
$$ 1 \le \sqrt{1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} $$
两边平方后得到：
$$ 1 \le 1 + \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 $$
移项后：
$$ 0 \le \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 $$
这显然成立；当$a+b=0$时，左边$\frac{a+b}{2}=0$，右边$\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} = |a| \ge 0$，不等式同样成立。

这个不等式其实是**算术平均数-均方根平均数不等式（AM-QM）**的二元特例，核心就是利用平方数非负的基本性质，通过代数变形把原不等式转化为显然成立的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者YetiMountainButter