首先得明确：如果不对原问题补充额外条件，原命题不成立，我先给一个反例说明这一点：

反例：构造空间$X = \mathbb{N} \cup \mathbb{R}$，其中$\mathbb{N}$（自然数集）赋予离散拓扑（每个点都是孤立点），$\mathbb{R}$（实数集）赋予通常欧几里得拓扑，X的拓扑取两个子空间的不交并拓扑。此时X确实有可列无限多个孤立点（就是$\mathbb{N}$里的所有点），但开集族$\mathcal{U} = {(r, r+1) \mid r \in \mathbb{R}}$是两两不交的不可列开集族——这直接说明原命题的结论不成立。

修正后的命题（加上关键条件） #

如果我们补充条件：X中每个非空开集都至少包含一个孤立点（也就是孤立点集在X中稠密），那么命题可以修正为：具有可列无限孤立点且孤立点稠密的拓扑空间中，任意两两不交的非空开集族是至多可列的（有限或可列无限），证明如下：

关键定义回顾

• 孤立点：若点$x \in X$满足单点子集${x}$是开集，则$x$是孤立点，记X的孤立点集为$S$，题设$S$是可列无限集，即$S \sim \mathbb{N}$（与自然数集等势）。
• 两两不交开集族：族中任意两个不同的开集交集为空。

证明过程

1. 任取X中两两不交的非空开集族$\mathcal{U}$。
2. 由于孤立点集$S$在X中稠密，每个$U \in \mathcal{U}$（非空开集）都至少包含一个孤立点，记这个孤立点为$x_U$。
3. 现在考虑映射$f: \mathcal{U} \to S$，其中$f(U) = x_U$。我们需要证明这是一个单射：
   • 假设存在两个不同的开集$U_1, U_2 \in \mathcal{U}$，使得$f(U_1) = f(U_2) = x$，那么$x \in U_1 \cap U_2$，这与$\mathcal{U}$中元素两两不交的条件矛盾。因此$f$是单射。
4. 因为$S$是可列无限集，单射的定义域$\mathcal{U}$的基数不会超过$S$的基数，也就是说$\mathcal{U}$要么是有限集，要么是可列无限集——即$\mathcal{U}$是至多可列的。

如果$\mathcal{U}$是无限的，那它自然就是可列无限的；如果是有限的，那就是有限的，这取决于具体的开集族选取。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jules Pitcho