嘿，刚入门组合数学的话这个问题绝对是个练手的好例子！我来一步步给你拆解，完全贴合你提到的组合数公式C(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!r!}来推导。

咱们分两步来解决这个问题：

第一步：先确定选哪两种水果 #

首先，总共有5种水果（橙子、苹果、桃子、香蕉、梨），我们需要从中选出恰好2种来组成这10个水果的集合。这一步就是标准的“从n个元素中选r个无顺序组合”的问题，对应组合数C(5,2)。

代入公式计算：
C(5,2) = \frac{5!}{(5-2)!2!} = \frac{5×4×3!}{3!×2×1} = 10
也就是说，一共有10种不同的“水果对”可以选（比如橙子+苹果、橙子+桃子……以此类推）。

第二步：计算每种水果对的数量分配方式 #

选好两种水果后，接下来要算：从这两种水果里选10个，必须两种都有（因为要求“恰好包含两种”，不能只选其中一种）。

假设我们选的是水果A和水果B，设选x个A、y个B，那么满足：
x + y = 10，且x ≥ 1，y ≥ 1（两种都至少有1个）

为了用组合数公式计算这个方程的解的数量，我们可以做个简单换元：令x' = x - 1，y' = y - 1，这样x' ≥ 0，y' ≥ 0，方程就变成了：
x' + y' = 8

现在问题转化为：求这个非负整数方程的解的数量，这对应组合数学里的“隔板法”场景，公式是C(n + k - 1, k - 1)，其中n是要分配的总数（这里是8），k是分配的类别数（这里是2种水果）。

代入公式得到：
C(8 + 2 - 1, 2 - 1) = C(9, 1) = \frac{9!}{(9-1)!1!} = 9
简单理解的话，就是x可以取1到9（对应y取9到1），正好9种分配方式。

第三步：总选法计算 #

因为每一组“水果对”都对应9种数量分配方式，所以总选法就是两步的结果相乘：
C(5,2) × C(9,1) = 10 × 9 = 90

如果用系统枚举的话，就是先列出所有10种水果对，再给每个水果对列出9种数量组合，加起来正好是90种，和公式计算的结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user123