很棒的问题，咱们一个个理清楚：

这个问题的答案完全取决于递推关系的类型：

• 常系数线性递推序列：这类是最容易处理的。对于齐次递推（比如 a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}），我们可以用特征方程法直接推导出通项公式；对于非齐次递推（递推式里加了多项式、指数函数这类非零项），只需要先找特解，再加上齐次通解就行。比如斐波那契数列 F_n = F_{n-1} + F_{n-2} 的通项（比内公式）就是这么推导出来的。
• 非线性递推序列：这类就棘手多了。大部分非线性递推没有初等函数形式的通项公式。比如逻辑斯蒂映射 x_{n+1} = rx_n(1 - x_n)，除了少数特殊的r值（比如r=4）能通过三角恒等式求解，绝大多数情况都找不到闭合形式的通项。有些非线性递推可能能用生成函数或者特殊函数表示，但这些已经不属于我们通常说的“初等通项”范畴了。

另外要区分存在性和可求解性：有些递推的通项可能存在（比如用特殊函数表示），但用基础方法根本推导不出来；而我们平时关心的大多是能用多项式、指数、三角函数等初等函数写出的通项，这类只在特定递推类型里存在。

先明确概念：设原序列为 {a_n}，它的前n项和序列（也就是你说的“求和的通项”）为 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。咱们从两个方向验证映射关系：

• 从原序列到求和序列：每个 {a_n} 都唯一对应一个 {S_n}——只要逐项累加就行。不可能有两个不同的原序列得到同一个求和序列，因为只要原序列在某一项不同，对应的求和序列从那一项开始就会出现差异。
• 从求和序列到原序列：反过来，每个 {S_n} 也唯一对应一个 {a_n}。我们可以通过差分还原原序列：a_1 = S_1，当 n ≥ 2 时，a_n = S_n - S_{n-1}。不管求和序列是递增、递减还是震荡，都能通过这个方法得到唯一的原序列。

既然每个原序列对应唯一的求和序列，每个求和序列也对应唯一的原序列，那这两个集合之间的映射就是双射关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Impropio