问题描述 #

已知随机变量 ( X ) 满足 ( P(a\le X \le b)=1 )（其中 ( \infty<a<b<\infty )），需要利用切比雪夫不等式证明其方差满足 ( Var(X)\le \frac{(b-a)^2}{4} )。

详细证明过程 #

咱们一步步来推导，不需要假设X服从特定分布（均匀分布只是这个上界取等号的特殊情况而已）：

1. 确定均值参考点
   首先，我们取区间[a,b]的中点作为均值的参考值：
   [
   \mu = \frac{a+b}{2}
   ]
   这个选择的合理性在于，方差衡量的是随机变量偏离均值的程度，而中点是能让最大偏离程度最小的位置，这也是最终等号成立的关键情况。

2. 转化概率条件
   已知 ( P(a\le X \le b)=1 )，我们把这个区间用均值(\mu)重新表示：
   [
   \begin{align*}
   P(a\le X \le b)&=P\left(a - \mu \le X - \mu \le b - \mu\right)\
   &=P\left(\frac{a-b}{2}\le X-\mu \le \frac{b-a}{2}\right)\
   &=P\left(|X - \mu| \le \frac{b-a}{2}\right) = 1 \tag{}
   \end{align}
   ]
   这一步的核心是把原始的取值范围转化为随机变量偏离均值的绝对值的范围，刚好对应切比雪夫不等式的形式。

3. 应用切比雪夫不等式
   切比雪夫不等式的标准形式是：对于任意正数(k)，有
   [
   P(|X - \mu| \le k) \ge 1 - \frac{Var(X)}{k^2}
   ]
   这里我们令 ( k = \frac{b-a}{2} )，代入不等式得到：
   [
   P\left(|X - \mu| \le \frac{b-a}{2}\right) \ge 1 - \frac{Var(X)}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2} \tag{**}
   ]

4. 联立不等式推导结论
   从式(*)我们知道 ( P\left(|X - \mu| \le \frac{b-a}{2}\right) = 1 )，把这个结果代入式()中：
   [
   1 \ge 1 - \frac{Var(X)}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2}
   ]
   接下来对这个不等式进行移项整理：
   [
   \frac{Var(X)}{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2} \le 1 \implies Var(X) \le \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{4}
   ]
   这样就完成了证明。另外补充一点：当X服从[a,b]上的均匀分布时，方差恰好等于(\frac{(b-a)^2}{4})，说明这个上界是紧的**——也就是说，不存在更小的上界能对所有满足条件的X都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user440191