咱们逐个分析这三个结论，结合微积分的核心知识点来理清对错：

结论1：错误 #

首先得明确一个核心概念：单调性是区间层面的性质，单点根本不存在“单调递增”的说法。退一步说，就算$f'(c)>0$，也只能说明函数在$c$点的瞬时变化率为正，完全没法保证在$c$的任何邻域内单调。

给你举个经典反例：

f(x) = { x + 2x²sin(1/x),  x ≠ 0
       { 0,                x = 0

计算可得$f'(0)=1>0$，但在$0$点的任意小邻域里，函数会疯狂震荡，既有递增段也有递减段，根本不满足单调的要求。所以这个结论肯定不成立。

结论2：正确 #

这里默认是承接结论1的前提（即$f'(c)>0$）加上“$f'$在$c$点连续”的条件哈。根据连续函数的保号性，因为$f'(c)>0$且$f'$在$c$连续，所以必然存在一个$c$的邻域$(c-\delta,c+\delta)$，在这个邻域里所有$x$的导数$f'(x)$都大于0。而我们知道，区间内导数恒正的话，函数在这个区间里就是严格单调递增的。所以这个结论是对的。

结论3：正确 #

根据拉格朗日中值定理，对$[a,b]$里任意两个点$x_1 < x_2$，总能找到介于它们之间的$\xi$，使得$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。因为$f'(x)≥0$对所有$x$都成立，所以$f'(\xi)≥0$，再加上$x_2-x_1>0$，自然就有$f(x_2)-f(x_1)≥0$，也就是$f(x_2)≥f(x_1)$——这完全符合非严格单调递增的定义。

要是有人把“单调递增”理解成严格递增，那这个结论就不对（比如常数函数导数恒为0，满足$f'(x)≥0$但不是严格递增），但在数学分析的标准术语里，“单调递增”默认指非严格，严格递增会特意说明。所以这个结论是正确的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者H.R