嘿，我刚好啃过杰恩斯这本《概率论：科学的逻辑》，来帮你理一理这个习题的思路！

首先，咱们得牢牢抓住乘积规则和求和规则这两个核心工具，先从条件概率的定义出发拆解目标表达式：

步骤1：用条件概率定义展开 #

根据条件概率的基本定义（本质是乘积规则的变形）：
$$
p(C|A+B) = \frac{p(C(A+B))}{p(A+B)}
$$
这里的关键是处理分子里的$C(A+B)$，逻辑上这等价于$CA + CB$（事件C发生且A发生，或者C发生且B发生），接下来就能用求和规则（容斥原理）了。

步骤2：对分子应用求和规则 #

对$p(CA + CB)$用容斥原理展开：
$$
p(CA + CB) = p(CA) + p(CB) - p(CACB)
$$
注意$CACB$其实就是$CAB$（事件C、A、B同时发生），所以分子可以改写为：
$$
p(CA) + p(CB) - p(CAB)
$$

步骤3：用乘积规则转化分子各项 #

把分子里的每一项都用乘积规则展开成条件概率和边缘概率的形式：

• $p(CA) = p(C|A)p(A)$
• $p(CB) = p(C|B)p(B)$
• $p(CAB) = p(C|AB)p(AB)$

代入后分子变为：
$$
p(C|A)p(A) + p(C|B)p(B) - p(C|AB)p(AB)
$$

步骤4：用求和规则展开分母 #

分母$p(A+B)$就是咱们熟悉的式(2.66)的左侧（去掉条件C），直接用容斥展开：
$$
p(A+B) = p(A) + p(B) - p(AB)
$$

最终公式 #

把分子分母组合起来，就得到$p(C|A+B)$的通用公式：
$$
p(C|A+B) = \frac{p(C|A)p(A) + p(C|B)p(B) - p(C|AB)p(AB)}{p(A) + p(B) - p(AB)}
$$

为什么你的直觉公式不对？ #

你直觉里的$p(C|A) + p(C|B) - p(C|AB)$是错误的，原因在于：

• 式(2.66)是条件固定时，左侧事件的容斥，而咱们现在是左侧事件固定，条件是事件的并，这两种场景的逻辑完全不同。
• 条件概率的“条件”相当于缩小了样本空间，直接套用右侧的容斥形式会忽略边缘概率的权重，甚至会出现概率大于1的矛盾（比如举个反例：A、B互斥，$p(A)=p(B)=0.5$，$p(C|A)=0.8$，$p(C|B)=0.6$，直觉公式算出来是1.4，显然不合理，而用正确公式算出来是0.7，符合概率的取值范围）。

简单来说，不存在和式(2.66)完全对称的线性公式，因为条件在右侧的并事件需要考虑边缘概率的权重，最终结果是一个分式形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matt R.