好问题！咱们一步步拆解来看：

答案是在满足一定条件下可以求解（或得到完整的解空间），核心取决于$\mathbf{x_1},\mathbf{x_2},\mathbf{x_3}$构成的矩阵的秩。

首先，你构造的块对角矩阵方程其实可以简化成更紧凑的等价形式：把三个$A\mathbf{x_i} = \mathbf{b_i}$按列拼接起来，得到：
$$A X = B$$
其中$X = \begin{bmatrix} \mathbf{x_1} & \mathbf{x_2} & \mathbf{x_3} \end{bmatrix}$（n×3矩阵，列是你那三个线性无关的向量），$B = \begin{bmatrix} \mathbf{b_1} & \mathbf{b_2} & \mathbf{b_3} \end{bmatrix}$（m×3矩阵，列是对应的右端项）。

因为你明确说$\mathbf{x_1},\mathbf{x_2},\mathbf{x_3}$线性无关，所以$X$的秩为3，接下来分两种典型情况：

• 当n=3时：$X$是可逆的n阶方阵，这时候$A$有唯一解，直接计算即可：
  $$A = B X^{-1}$$
  只需要对$X$求逆，再和$B$相乘就能得到唯一的A。
• 当n>3时：$X$是列满秩矩阵（秩为3），这时候$A$的解不唯一，但我们可以写出所有解的通式：
  $$A = B X^+ + C(I - X X^+)$$
  这里$X^+$是$X$的Moore-Penrose伪逆，$C$是任意m×n矩阵。如果你需要最小Frobenius范数的唯一解，那直接取$A = B X^+$就行，这个解可以通过伪逆的标准算法计算。

你构造的块对角形式其实是这个矩阵方程的“向量化展开版”，本质上和$AX=B$完全等价，求解时用$AX=B$的形式会更高效直观。

这类问题属于线性逆问题的子类，常见的称呼有：

• 多右端项线性方程组的逆问题：因为我们是从多个$Ax=b$的配对中反推未知矩阵A；
• 矩阵辨识问题：当把A看作一个未知的线性变换矩阵，从输入（$\mathbf{x_i}$）和输出（$\mathbf{b_i}$）对中辨识出这个矩阵；
• 如果是在控制或系统理论的场景下，它也属于线性系统辨识的基础问题（比如辨识静态线性系统的输入输出矩阵）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carpetfizz