嘿，我来帮你理一理这个问题～

首先，你选择向量(x+y, y+z, z+x)和(1,1,1)的思路完全没问题！这个方向刚好可以结合柯西不等式来推导目标不等式，我先把标准推导过程写出来，你可以对照自己的步骤看看：

我们用到柯西不等式的代数变形形式：

$(a_1 + a_2 + a_3)\left(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3}\right) \geq (1+1+1)^2$（其中$a_1,a_2,a_3$均为正数）

针对你的问题，把$a_1=x+y$、$a_2=y+z$、$a_3=z+x$代入，先计算左边的第一部分：
$$(x+y)+(y+z)+(z+x) = 2(x+y+z)$$

代入柯西不等式后得到：
$$2(x+y+z) \times \left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} \right) \geq 9$$

两边同时除以$(x+y+z)$（这里默认$x,y,z$均为正数，否则不等式分母无意义），整理后就得到：
$$2\left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} \right) \geq \frac{9}{x+y+z}$$

这正好就是你要证明的目标不等式啦！

至于要不要提供推导过程的图片：如果你的推导里有一些细节（比如中间步骤的变形、向量点积的计算逻辑）拿不准，贴出图片能让我更精准地帮你排查问题；如果文字能清晰描述你的推导步骤，直接写出来也完全可以哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abby Liu