咱们来逐个理清这两个问题：

问题1：u和v的定义域与值域到底是哪种？ #

答案很明确：u和v是从$\mathbb R^2$到$\mathbb R$的函数，也就是你写的(1)式。

原因在于，复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$里的$z=x+iy$，其中$x=\text{Re}(z)$、$y=\text{Im}(z)$都是实数——说白了，u和v的输入是一对实数组成的有序对$(x,y)$，输出也是实数。虽然z是复数，但u和v并不是直接以复数z作为输入，而是依赖于z拆解后的两个实部变量，所以它们的本质是二元实函数，而非定义在复数域上的实值函数。

问题2：符号写法对应的定义域暗示 #

完全正确！

• 当我们写出$u(x,y)$和$v(x,y)$时，这种符号就明确暗示了u、v是二元实函数（$\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$），因为这里用了两个独立的实变量x和y作为输入参数。
• 如果u、v是定义在整个复数域$\mathbb C$上的实值函数（即$\mathbb C\rightarrow \mathbb R$），标准的写法确实应该是$u(z)$和$v(z)$，因为这时候输入是单个复数z，不需要拆分成实部和虚部来表示。

不过补充一句：在复分析的一些非正式表述里，偶尔会看到有人把$u(z)$当作$u(\text{Re}(z), \text{Im}(z))$的简写，但这是约定俗成的偷懒写法，严格从定义角度看，符号的区分还是很清晰的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JDoeDoe