咱们来一步步推导这个结论，核心是利用整系数多项式的因式分解特性：

• 首先假设反例：假设f(x)存在四个不同的整数根，记为α₁, α₂, α₃, α₄。因为f(x)是整系数多项式，根据因式定理，它可以分解为：
  f(x) = (x-α₁)(x-α₂)(x-α₃)(x-α₄)g(x)
  这里的g(x)同样是整系数多项式。

• 代入已知条件f(a)=p（a是整数，p是素数），我们得到：
  (a-α₁)(a-α₂)(a-α₃)(a-α₄)g(a) = p
  因为g(a)是整数（整系数多项式代入整数仍为整数），所以等式左边是几个整数的乘积，结果等于素数p。

• 接下来分析因子的性质：
  由于α₁, α₂, α₃, α₄是不同的整数，那么a-α₁, a-α₂, a-α₃, a-α₄必然是四个不同的非零整数（如果有一个为0，那f(a)=0≠p，直接矛盾）。
  而素数p的整数因子只有±1和±p这四个可能，且它们的乘积为1×(-1)×p×(-p) = p²，显然p² ≠ p（因为p是素数，p≥2）。

• 矛盾点出现：
  四个不同的整数相乘，再乘另一个整数g(a)，结果要等于p。但四个不同整数的乘积绝对值要么是p²（用全所有p的因子），要么更大（包含其他整数），再乘任何非零整数g(a)，结果的绝对值都不可能等于p；如果g(a)=0，那f(a)=0≠p，也不成立。

所以我们的反例假设不成立，也就是说f(x)不可能有四个不同的整数根，最多只能有三个。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stratrocrat