嘿，这个问题问得特别好，刚好触及了概率事件定义里的等价性细节！

先直接给结论：用并集$\bigcup_{n \geq0} {X_n = 0}$定义破产事件$R$是完全合理的，而且它和用下确界定义的“首次破产时刻有限”事件是等价的，原因如下：

1. 并集定义的本质 #

并集$\bigcup_{n \geq0} {X_n = 0}$的核心含义是：存在至少一个时刻$n$（包括初始时刻$n=0$），使得$X_n=0$。

虽然游戏规则里规定一旦到达0就终止，不会有$m>n$让$X_m=0$（或者说终止后$X_m$保持0，但这并不影响），但并集只要求“有一次发生”就够了——只要某个样本路径在某个$n$时刻破产，它就属于这个并集，后续状态如何完全不影响这个样本点是否属于$R$。

2. 下确界定义的等价性 #

如果我们用下确界定义首次破产时刻：
$$T = \inf{n \geq 0 \mid X_n = 0}$$
那么破产事件$R$也可以写成${T < \infty}$（即首次破产时刻是有限的，意味着在有限时间内会破产）。

这和并集定义是完全等价的：

• 若样本点属于$\bigcup_{n \geq0} {X_n = 0}$，说明存在某个$n$使得$X_n=0$，那么$T \leq n < \infty$，即${T < \infty}$成立；
• 若样本点属于${T < \infty}$，说明存在最小的$n$使得$X_n=0$，那么这个样本点自然属于${X_n=0}$，也就属于整个并集。

3. 为什么两种方式都能用？ #

在概率建模里，这两种表述是同一事件的不同描述方式：

• 并集是从“事件是否发生过”的角度出发，更直观；
• 下确界是从“首次发生的时间是否有限”的角度出发，更便于后续计算（比如计算期望破产时间）。

所以不用担心并集定义的合理性，它和你考虑的下确界定义是完全等价的，只是表达方式不同而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dark_Knight