嘿，我明白你想要的是连接A、B两点的圆锥螺旋线轨迹方程，不用慌，我尽量用直白的方式给你讲清楚，不用太纠结复杂的数学术语～

核心思路 #

圆锥螺旋线的本质是：沿着一条直线（A到B的轴线）做直线运动的同时，绕着这条轴线做圆周运动，并且圆周的半径随运动距离线性变化（这也是它和圆柱螺旋线的核心区别——圆柱螺旋线半径始终不变）。

关键参数设定 #

先给两个点定个坐标，方便后续推导：

• A点坐标：$(x_1, y_1, z_1)$
• B点坐标：$(x_2, y_2, z_2)$
• 螺旋圈数：$n$（你可以自己设定，比如3圈、5圈，数值越大螺旋越密集）
• 半径变化：设A点处的螺旋半径为$r_0$，B点处为$r_1$（如果A是圆锥顶点，那$r_0=0$；如果想要两端半径一致，那$r_0=r_1$，但这其实更接近圆柱螺旋线）
• 参数$t$：范围从0到1，$t=0$对应A点，$t=1$对应B点

完整参数方程 #

首先计算几个基础向量：

1. AB的方向向量：$\vec{v} = (x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1)$
2. 找两个垂直于$\vec{v}$且互相垂直的单位向量$\vec{u}1=(u{1x},u_{1y},u_{1z})$和$\vec{u}2=(u{2x},u_{2y},u_{2z})$（具体生成方法见下文）
3. 随t变化的半径：$r(t) = r_0 + (r_1 - r_0)t$

最终的参数方程为：
$$
\begin{align*}
x(t) &= x_1 + t(x_2-x_1) + r(t) \cdot \left( \cos(2\pi n t) \cdot u_{1x} + \sin(2\pi n t) \cdot u_{2x} \right) \
y(t) &= y_1 + t(y_2-y_1) + r(t) \cdot \left( \cos(2\pi n t) \cdot u_{1y} + \sin(2\pi n t) \cdot u_{2y} \right) \
z(t) &= z_1 + t(z_2-z_1) + r(t) \cdot \left( \cos(2\pi n t) \cdot u_{1z} + \sin(2\pi n t) \cdot u_{2z} \right)
\end{align*}
$$

如何生成垂直单位向量$\vec{u}_1$和$\vec{u}_2$？ #

如果AB的方向向量$\vec{v}=(a,b,c)$不是零向量（显然A、B不重合），可以这样操作：

• 先找一个和$\vec{v}$不共线的向量，比如如果$\vec{v}$不是沿着z轴，就取$(1,0,0)$；如果$\vec{v}$是$(0,0,c)$，直接取$(1,0,0)$即可
• 计算叉乘：$\vec{w} = \vec{v} \times (1,0,0)$，然后归一化得到$\vec{u}_1 = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$
• 再计算叉乘：$\vec{u}_2 = \frac{\vec{v} \times \vec{u}_1}{|\vec{v} \times \vec{u}_1|}$，这样$\vec{u}_1$和$\vec{u}_2$就满足垂直于轴线且互相垂直的要求了

简单示例（适合绘图测试） #

假设：

• A点：$(0,0,0)$（圆锥顶点）
• B点：$(0,0,10)$（沿着z轴的底面中心）
• 圈数$n=3$
• B点半径$r_1=2$（所以$r(t)=2t$）
• $\vec{u}_1=(1,0,0)$，$\vec{u}_2=(0,1,0)$

代入方程后得到可直接用于绘图的代码：

# t的范围是0到1，取1000个点足够平滑
import numpy as np
t = np.linspace(0, 1, 1000)
x = 2*t * np.cos(2*np.pi*3*t)
y = 2*t * np.sin(2*np.pi*3*t)
z = 10*t

用Matplotlib绘制的话，就是一条从原点绕z轴转3圈，半径从0增加到2，最终到达(0,0,10)的标准圆锥螺旋线。

小提示 #

• 如果A、B不在坐标轴上，只需要按照上面的方法计算$\vec{u}_1$和$\vec{u}_2$就行，代入方程的逻辑完全一样
• 调整$n$可以改变螺旋的圈数，调整$r_0$和$r_1$可以控制两端的半径大小

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shdotcom